Smoothing effect for Schrödinger equations

Abstract

We show the necessity of the nontrapping condition for the plain smoothing effect ($H^{1/2}$) for the Schrödinger equation with Dirichlet boundary conditions in exterior problems. We also give a class of trapped obstacles (Ikawa's example) for which we can prove a weak ($H^{1/2 - \varepsilon}$) smoothing effect.

On démontre que l'hypothèse de non capture est nécessaire pour l'effet régularisant ($H^{1/2}$) pour l'équation de Schrödinger avec conditions aux limites de Dirichlet à l'extérieur d'un domaine de $\mathbb{R}^d$. On donne aussi une classe d'obstacles captifs (l'exemple d'Ikawa) pour lesquels on démontre un effet régularisant affaibli ($H^{1/2 - \varepsilon}$).