Théoràme central limite fonctionnel pour une marche au hasard en environnement aléatoire

Abstract

The simple random walk on a supercritical Galton–Watson tree is transient when the tree is infinite. Moreover, there exist regeneration times, that is, times when the walk crosses an edge for the first and the last time. We prove that the distance and the range of the walk satisfy functional central limit theorems under the annealed law GP. This result is a consequence of estimates of the law of the first regeneration time $\tau_R$. We show that there exist positive $c , c', \alpha$ and $\beta$ such that, for all $n \geq 1$, $$\exp (-cn^{\alpha}) \leq GP[\tau_R \geq \exp (-c' n^{\beta}).$

La marche au hasard simple sur un arbre de Galton–Watson super-critique est transiente quand l’arbre est infini. De plus, elle possède des instants de régénération, c’est- à-dire, des instants où le marcheur traverse une arête pour la première et la dernière fois. Nous démontrons que la distance et le rang de la marche vérifient un théorème central limite fonctionnel sous la loi GP moyennée en l’environnement. Ce résultat repose sur une estimation de la loi du premier instant de régénération $\tau_R$. Nous montrons qu’il existe des constantes $c , c', \alpha$ et $\beta$ strictement positives telles que, pour tout $n \geq 1$, $$\exp (-cn^{\alpha}) \leq GP[\tau_R \geq \exp (-c' n^{\beta}).$