Cohomologie non ramifiée de degré 3 : variétés cellulaires et surfaces de del Pezzo de degré au moins 5

Abstract

Dans cet article, où le corps de base est un corps de caractéristique zéro quelconque, pour $X$ une variété géométriquement cellulaire, on étudie le quotient du troisième groupe de cohomologie non ramifiée $H_{nr}^3\left(X,\mathbb{Q}∕\mathbb{Z}\left(2\right)\right)$ par sa partie constante. Pour $X$ une compactification lisse d’un torseur universel sur une surface géométriquement rationnelle, on montre que ce quotient est fini. Pour $X$ une surface de del Pezzo de degré $\ge 5$, on montre que ce quotient est trivial, sauf si $X$ est une surface de del Pezzo de degré 8 d’un type particulier.

We consider geometrically cellular varieties $X$ over an arbitrary field of characteristic zero. We study the quotient of the third unramified cohomology group $H_{nr}^3\left(X,\mathbb{Q}∕\mathbb{Z}\left(2\right)\right)$ by its constant part. For $X$ a smooth compactification of a universal torsor over a geometrically rational surface, we show that this quotient is finite. For $X$ a del Pezzo surface of degree $\ge 5$, we show that this quotient is zero, unless $X$ is a del Pezzo surface of degree 8 of a special type.