Phase transitions for infinite products of large non-Hermitian random matrices

Abstract

Products of M i.i.d. non-Hermitian random matrices of size $\mathit{N}\times \mathit{N}$ relate Gaussian fluctuation of Lyapunov and stability exponents in dynamical systems (finite N and large M) to local eigenvalue universality in random matrix theory (finite M and large N). The remaining task is to study local eigenvalue statistics as M and N tend to infinity simultaneously, which lies at the heart of understanding two kinds of universal patterns. For products of i.i.d. complex Ginibre matrices, truncated unitary matrices and spherical ensembles, as $\mathit{M}\mathbf{+}\mathit{N}\to \infty$ we prove that local statistics undergoes a transition when the relative ratio $\mathit{M}/\mathit{N}$ changes from 0 to ∞: Ginibre statistics when $\mathit{M}/\mathit{N}\to 0$, normality when $\mathit{M}/\mathit{N}\to \infty$, and new critical phenomena when $\mathit{M}/\mathit{N}\to \mathit{\gamma }\in (0,\infty )$.

Les produits de M matrices aléatoires non-Hermitiennes i.i.d. de taille $\mathit{N}\times \mathit{N}$ permettent de relier les fluctuations gaussiennes des exposants de Lyapunov et de stabilité dans les systèmes dynamiques (pour N fini et M grand) à l’universalité locale des valeurs propres en théorie des matrices aléatoires (pour M fini et N grand). La tâche restante consiste à étudier les statistiques locales des valeurs propres lorsque M et N tendent simultanément vers l’infini, ce qui est au cœur de la compréhension de deux types de modèles universels. Pour les produits de matrices de Ginibre complexes i.i.d., de matrices unitaires tronquées, et d’ensembles sphériques, quand $\mathit{M}\mathbf{+}\mathit{N}\to \infty$, nous démontrons que les statistiques locales subissent une transition lorsque le rapport relatif $\mathit{M}/\mathit{N}$ passe de 0 à ∞ : des statistiques de Ginibre quand $\mathit{M}/\mathit{N}\to 0$, une normalité quand $\mathit{M}/\mathit{N}\to \infty$, et de nouveaux phénomènes critiques quand $\mathit{M}/\mathit{N}\to \mathit{\gamma }\in (0,\infty )$.