On natural measures of SLE- and CLE-related random fractals

Abstract

In this paper, we construct the natural measure on several types of random fractals, namely, the cut points and boundary-touching points of the Schramm–Loewner Evolution (SLE), as well as the pivotal points and the carpet/gasket of the Conformal Loop Ensemble (CLE), and then prove the uniqueness up to scalar multiples in each case. As an application, we show the equivalence between natural measures defined in this paper for ${\mathrm{CLE}}_6$ pivotal points and gasket and scaling limits of their respective discrete analogs (i.e., the pivotal and area measure of the critical planar Bernoulli percolation constructed in [Garban-Pete-Schramm, J. Amer. Math. Soc., 2013]). Although the existence and uniqueness for the natural measures of the CLE carpet and gasket have already been proved in [Miller-Schoug, arXiv:2201.01748], we provide a different argument via the coupling of CLE and Liouville quantum gravity (LQG).

Dans cet article, nous construisons la mesure naturelle sur plusieurs fractales aléatoires, à savoir les points de coupure et les points bord-touchants de l’evolution de Schramm–Loewner (SLE), les points pivots et le tapis/tamis de l’ensemble des boucles conformes (CLE). Puis nous prouvons l’unicité, à une constante multiplicative près, dans chaque cas. Comme application, nous montrons également l’équivalence entre les mesures naturelles définies dans cet article pour les points pivots et le tamis du ${\mathrm{CLE}}_6$ et les limites d’échelle de leurs analogues discrets respectifs (c’est-à-dire la mesure pivot et la mesure de l’aire de la percolation de Bernoulli planaire critique construite dans [Garban-Pete-Schramm, J. Amer. Math. Soc., 2013]). Bien que l’existence et l’unicité des mesures naturelles du tapis et du tamis du CLE aient déjà été prouvées dans [Miller-Schoug, arXiv:2201.01748], nous proposons ici un argument différent via le couplage du CLE et la gravité quantique de Liouville (LQG).