Probabilistic limit theorems via the operator perturbation method, under optimal moment assumptions

Abstract

The Nagaev-Guivarc’h operator perturbation method is well known to provide various probabilistic limit theorems for Markov random walks. A natural conjecture is that this method should provide these limit theorems under the same moment assumptions as the optimal ones in the case of sums of independent and identically distributed random variables. In the past decades, assumptions have been weakened, without achieving fully this purpose (achieving it either with the help of an extra proof of the central limit theorem, or with an additional ε in the moment assumptions). The aim of this article is to give a positive answer to this conjecture via the Keller-Liverani theorem. We present here an approach allowing the establishment of limit theorems (including higher order ones) under optimal moment assumptions. Our method is based on Taylor expansions obtained via the perturbation operator method, combined with a new weak compactness argument without the use of any other extra tool (such as Martingale decomposition method, etc.).

La méthode de perturbation d’opérateur de Nagaev-Guivarc’h est célèbre pour son efficacité dans l’établissement de divers théorèmes limites probabilistes pour des marches aléatoires markoviennes. Une conjecture naturelle est que cette méthode devrait permettre d’établir ces théorèmes limites sous les hypothèses de moment optimales dans le cas de sommes de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Au cours des dernières décennies, les hypothèses ont été affaiblies sans atteindre pleinement cet objectif (soit à l’aide d’un théorème central limite établi par un autre argument, soit avec un ε supplémentaire dans les hypothèses de moment). Le but de cet article est de donner une réponse positive à cette conjecture via le théorème de Keller-Liverani. Notre méthode est basée sur des développements de Taylor obtenus par la méthode de perturbation d’opérateur, combinée à un nouvel argument de compacité faible sans faire appel à un argument d’une autre nature (tel que la méthode de décomposition de Martingale, etc.).