Height of weighted recursive trees with sub-polynomially growing total weight

Abstract

Weighted recursive trees are built by adding successively vertices with predetermined weights to a tree: each new vertex is attached to a parent chosen at random with probability proportional to its weight. In the case where the total weight of the tree at step n grows polynomially in n, we obtained in (Ann. Appl. Probab. 32 (2022) 3027–3059) an asymptotic expansion for the height of the tree, which falls into the university class of the maximum of branching random walks. In this paper, we consider the case of a total weight growing sub-polynomially in n and obtain asymptotics for the height of the tree in several regimes, showing that universality is broken and that the model exhibits new behavior.

Les arbres récursifs pondérés sont contruits en ajoutant successivement des sommets aux poids prédéterminés : chaque nouveau sommet est attaché à un parent choisi au hasard avec une probabilité proportionnelle à son poids. Dans le cas où le poids total des n premiers sommets croît polynomialement en n, nous avons obtenu dans (Ann. Appl. Probab. 32 (2022) 3027–3059) un développement asymptotique pour la hauteur de l’arbre, qui tombe dans la classe d’universalité du maximum d’une marche aléatoire branchante. Dans le présent article, nous considérons le cas où le poids total croît de manière sous-polynomiale en n et nous décrivons le comportement asympotique de la hauteur de l’arbre dans plusieurs régimes. Nous décrivons dans ce cas de nouveaux comportements qui sortent de la classe d’universalité mentionnée au-dessus.