Number of visits in arbitrary sets for ϕ-mixing dynamics

Abstract

It is well-known that, for sufficiently mixing dynamical systems, the number of visits to balls and cylinders of vanishing measure is approximately Poisson compound distributed in the Kac scaling. Here we extend this kind of results when the target set is an arbitrary set with vanishing measure in the case of ϕ-mixing systems. The error of approximation in total variation is derived using Stein–Chen method. An important part of the paper is dedicated to examples to illustrate the assumptions, as well as applications to temporal synchronisation of g-measures.

Il est bien connu que, pour les systèmes dynamiques suffisamment mélangeant, la loi du nombre de visites dans les boules et les cylindres de mesure tendant vers zéro, est proche d’une loi de Poisson composée à l’échelle de Kac. Ici, nous étendons ce type de résultats lorsque l’ensemble cible est un ensemble arbitraire de mesure qui tend vers zéro, dans le cas des systèmes ϕ-mélangeants. L’erreur d’approximation en variation totale est obtenue à l’aide de la méthode de Stein–Chen. Une partie importante de l’article est consacrée à des exemples pour illustrer les hypothèses, ainsi qu’à des applications à la synchronisation temporelle de g-mesures.