Stochastic transport equation with singular drift

Abstract

We prove existence, uniqueness and Sobolev regularity of weak solution of the Cauchy problem of the stochastic transport equation with drift in a large class of singular vector fields containing, in particular, the ${\mathit{L}}^{\mathit{d}}$ class, the weak ${\mathit{L}}^{\mathit{d}}$ class, as well as some vector fields that are not even in ${\mathit{L}}_{\mathrm{loc}}^{2\mathbf{+}\mathit{\epsilon }}$ for any $\mathit{\epsilon }>0$.

On obtient des résultats sur l’existence, l’unicité et la régularité en sens de Sobolev de la solution faible au problème de Cauchy pour l’équation de transport stochastique avec dérive dans une large classe de champs vectoriels singuliers contenant, en particulier, la classe ${\mathit{L}}^{\mathit{d}}$, la classe ${\mathit{L}}^{\mathit{d}}$ faible, ainsi que certains champs vectoriels qui n’appartiennent même pas à ${\mathit{L}}_{\mathrm{loc}}^{2\mathbf{+}\mathit{\epsilon }}$ pour $\mathit{\epsilon }>0$ arbitraire.