Short- and long-time path tightness of the continuum directed random polymer

Abstract

We consider the point-to-point continuum directed random polymer ($\mathsf{CDRP}$) model that arises as a scaling limit from $(1\mathbf{+}1)$-dimensional directed polymers in the intermediate disorder regime. We show that the annealed law of a point-to-point $\mathsf{CDRP}$ of length t converges to the Brownian bridge under diffusive scaling when $\mathit{t}\downarrow 0$. In case that t is large, we show that the transversal fluctuations of point-to-point $\mathsf{CDRP}$ are governed by the $2/3$ exponent. More precisely, as t tends to infinity, we prove tightness of the annealed path measures of point-to-point $\mathsf{CDRP}$ of length t upon scaling the length by t and fluctuations of paths by ${\mathit{t}}^{2/3}$. The $2/3$ exponent is tight such that the one-point distribution of the rescaled paths converges to the geodesic of the directed landscape. This point-wise convergence can be enhanced to process-level modulo a conjecture. Our short- and long-time tightness results also extend to point-to-line $\mathsf{CDRP}$. In the course of proving our main results, we establish quantitative versions of quenched modulus of continuity estimates for long-time $\mathsf{CDRP}$ which are of independent interest.

Nous considérons le modèle de polymère dirigé continu point à point ($\mathsf{CDRP}$) qui se présente comme une limite d’échelle des polymères dirigés de dimension $(1\mathbf{+}1)$ dans le régime du désordre intermédiaire. Nous montrons que la loi recuite d’un $\mathsf{CDRP}$ point à point de longueur t sous une renormalisation diffusive converge vers le pont brownien lorsque $\mathit{t}\downarrow 0$. Dans le cas où t est grand, nous montrons que les fluctuations transversales d’un $\mathsf{CDRP}$ point à point sont régies par l’exposant $2/3$. Plus précisément, lorsque t tend vers l’infini, nous prouvons la tension de la mesure recuite des trajectoires de $\mathsf{CDRP}$ point-à-point de longueur t en renormalisant la longueur par t et les fluctuations des trajectoires par ${\mathit{t}}^{2/3}$. L’exposant $2/3$ est tendu de telle sorte que la loi en un point des trajectoires renormalisées converge vers la géodésique du paysage dirigé. Cette convergence ponctuelle peut être améliorée au niveau du processus modulo une conjecture. Nos résultats de tension à temps court et à temps long s’étendent également au $\mathsf{CDRP}$ point-à-ligne. Au cours de la démonstration de nos principaux résultats, nous établissons des versions quantitatives des estimations trempées du module de continuité pour le $\mathsf{CDRP}$ à temps long, qui présentent un intérêt indépendant.