Scaling limits of external multi-particle DLA on the plane and the supercooled Stefan problem

Abstract

We consider (a variant of) the external multi-particle diffusion-limited aggregation (MDLA) process of Rosenstock and Marquardt on the plane. Based on the findings of (Ann. Probab. 24 (1996) 559–598, Arch. Ration. Mech. Anal. 233 (2019) 643–699, Delarue, Nadtochiy and Shkolnikov (2019)) in one space dimension it is natural to conjecture that the scaling limit of the growing aggregate in such a model is given by the growing solid phase in a suitable “probabilistic” formulation of the single-phase supercooled Stefan problem for the heat equation. To address this conjecture, we first prove that the limit points of diffusively scaled MDLA systems are well-defined and described by absorbed Brownian motions. Then, we show that these limit points satisfy the equation that characterizes the growth rate of the solid phase in the supercooled Stefan problem with an inequality, which can be strict in general. This result provides the first rigorous answer to a question that has received much attention in the physics literature. In the course of the proof, we establish two additional results interesting in their own right: (i) the stability of a “crossing property” of planar Brownian motion and (ii) a rigorous connection between the probabilistic solutions to the supercooled Stefan problem and its classical and weak solutions.

Nous considérons (une variante) du processus d’agrégation limitée par diffusion externe multi-particule (MDLA) de Rosenstock et Marquardt dans le plan. Sur la base des résultats de (Ann. Probab. 24 (1996) 559–598, Arch. Ration. Mech. Anal. 233 (2019) 643–699, Delarue, Nadtochiy and Shkolnikov (2019)) en dimension un, il est naturel de conjecturer que la limite d’échelle de l’agrégat en croissance dans un tel modèle est donnée par la phase solide en croissance dans une formulation “probabiliste” appropriée du problème de Stefan de surfusion monophasé pour l’équation de la chaleur. Pour répondre à cette conjecture, nous prouvons d’abord que les points limites des systèmes MDLA à échelle diffusive sont bien définis et décrits par des mouvements browniens absorbés. Puis, nous montrons que ces points limites satisfont l’équation qui caractérise le taux de croissance de la phase solide dans le problème de Stefan de surfusion avec une inégalité, qui peut être stricte en général. Ce résultat fournit la première réponse rigoureuse à une question qui a reçu beaucoup d’attention dans la littérature physique. Au cours de la preuve, nous établissons deux résultats supplémentaires intéressants en soi : (i) la stabilité d’une “propriété de croisement” du mouvement brownien plan et (ii) une connexion rigoureuse entre les solutions probabilistes du problème de Stefan surfusion et ses solutions classiques et faibles.