Fluctuations and correlations for products of real asymmetric random matrices

Abstract

We study the real eigenvalue statistics of products of independent real Ginibre random matrices. These are matrices all of whose entries are real i.i.d. standard Gaussian random variables. For such product ensembles, we demonstrate the asymptotic normality of suitably normalised linear statistics of the real eigenvalues and compute the limiting variance explicitly in both global and mesoscopic regimes. A key part of our proof establishes uniform decorrelation estimates for the related Pfaffian point process, thereby allowing us to exploit weak dependence of the real eigenvalues to give simple and quick proofs of the central limit theorems under quite general conditions. We also establish the universality of these point processes. We compute the asymptotic limit of all correlation functions of the real eigenvalues in the bulk, origin and spectral edge regimes. By a suitable strengthening of the convergence at the edge, we also obtain the limiting fluctuations of the largest real eigenvalue. Near the origin we find new limiting distributions characterising the smallest positive real eigenvalue.

Nous étudions la distribution des valeurs propres du produit de matrices de Ginibre réelles indépendantes. Les coefficients de ces matrices sont des variables aléatoires i.i.d. réels Gaussiens. Pour de tels produits, on montre le caractère asymptotique Gaussien des statistiques linéaires des valeurs propres réelles et l’on calcule explicitement, en régime global et mésoscopique, les variances asymptotiques associées. Une partie clef de notre preuve établit des estimées de décorrélation pour le processus Pfaffien associé, ce qui permet d’exploiter la dépendance faible entre valeurs propres réelles pour donner des preuves simples et concises de théorèmes de la limite centrale sous des conditions générales. On établit également l’universalité de ces processus ponctuels. On calcule la limite des fonctions de corrélation des valeurs propres à l’intérieur et au bord du spectre limite. Grâce à un raffinement adéquat de la convergence au bord, on obtient les fluctuations limites de la plus grande valeur propre réelle. Près de l’origine, on trouve de nouvelles distributions limites caractérisant la plus petite valeur propre réelle.