Determinantal point processes conditioned on randomly incomplete configurations

Abstract

For a broad class of point processes, including determinantal point processes, we construct associated marked and conditional ensembles, which allow to study a random configuration in the point process, based on information about a randomly incomplete part of the configuration. We show that our construction yields a well behaving transformation of sufficiently regular point processes. In the case of determinantal point processes, we explain that special cases of the conditional ensembles already appear implicitly in the literature, namely in the study of unitary invariant random matrix ensembles, in the Its–Izergin–Korepin–Slavnov method to analyze Fredholm determinants, and in the study of number rigidity. As applications of our construction, we show that a class of determinantal point processes induced by orthogonal projection operators, including the sine, Airy, and Bessel point processes, satisfies a strengthened notion of number rigidity, and we give a probabilistic interpretation of the Its–Izergin–Korepin–Slavnov method.

Pour une large classe de processus de points, y compris les processus de points déterminantaux, nous construisons les ensembles marqués et conditionnés associés qui permettent d’étudier une configuration aléatoire dans le processus de points, à partir d’information sur une partie aléatoirement incomplète de cette configuration. Nous montrons que notre construction produit une transformation qui se comporte bien pour des processus de points suffisamment réguliers. Dans le cas des processus de points déterminantaux, nous expliquons que certains cas particuliers de ces ensembles conditionnés sont déjà apparus implicitement dans la littérature, à savoir dans l’étude des ensembles de matrices aléatoires unitairement invariant, dans la méthode de Its, Izergin, Korepin et Slavnov pour analyser les déterminants de Fredholm, et dans l’étude de la rigidité des nombres. Comme application de notre construction, nous montrons qu’une classe de processus de points déterminantaux induits par des projections orthogonales, comprenant les processus de points sinus, Airy et Bessel, satisfait une propriété plus forte que la rigidité des nombres, et nous donnons une interprétation probabiliste de la méthode de Its, Izergin, Korepin et Slavnov.