Asymptotics for Strassen’s optimal transport problem

Abstract

In this paper, we consider Strassen’s version of optimal transport (OT) problem, which concerns minimizing the excess-cost probability (i.e., the probability that the cost is larger than a given value) over all couplings of two given distributions. We derive large deviation, moderate deviation, and central limit theorems for this problem. Our proof is based on Strassen’s dual formulation of the OT problem, Sanov’s theorem on the large deviation principle (LDP) of empirical measures, as well as the moderate deviation principle (MDP) and central limit theorems (CLT) of empirical measures. In order to apply the LDP, MDP, and CLT to Strassen’s OT problem, nested formulas for Strassen’s OT problem are derived. Based on these nested formulas and using a splitting technique, we construct asymptotically optimal solutions to Strassen’s OT problem and its dual formulation.

Dans cet article, nous considérons la version de Strassen du problème de transport optimal (TO), qui porte sur la minimisation de la probabilité de surcoût (c’est-à-dire la probabilité que le coût soit supérieur à une valeur donnée) sur tous les couplages de deux distributions données. Nous obtenons des théorèmes de grande déviation, de déviation modérée et de limite centrale pour ce problème. Notre preuve est basée sur la formulation duale du problème TO introduite par Strassen, le théorème de Sanov sur le principe de grande déviation (PGD) des mesures empiriques, ainsi que le principe de déviation modérée (PDM) et les théorèmes centraux limites (TCL) des mesures empiriques. Afin d’appliquer les PGD, PDM et TLC au problème TO de Strassen, des formules imbriquées pour le problème TO de Strassen sont établies. Sur la base de ces formules imbriquées et en utilisant une technique de division, nous construisons des solutions asymptotiquement optimales au problème TO de Strassen et à sa formulation duale.