Stochastic homogenization of random walks on point processes

Abstract

We consider random walks on the support of a random purely atomic measure on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ with random jump probability rates. The jump range can be unbounded. The purely atomic measure is reversible for the random walk and stationary for the action of the group $\mathbb{G}={\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ or $\mathbb{G}={\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$. By combining two-scale convergence and Palm theory for $\mathbb{G}$-stationary random measures and by developing a cut-off procedure, under suitable second moment conditions we prove for almost all environments the homogenization for the massive Poisson equation of the associated Markov generator. In addition, we obtain the quenched convergence of the ${\mathit{L}}^2$-Markov semigroup and resolvent of the diffusively rescaled random walk to the corresponding ones of the Brownian motion with covariance matrix $2\mathit{D}$. For symmetric jump rates, the above convergence plays a crucial role in the derivation of hydrodynamic limits when considering multiple random walks with site-exclusion or zero range interaction. We do not require any ellipticity assumption, neither non-degeneracy of the homogenized matrix D. Our results cover a large family of models, including e.g. random conductance models on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ and on general lattices (possibly with long conductances), Mott variable range hopping, simple random walks on Delaunay triangulations, simple random walks on supercritical percolation clusters.

Nous considérons des marches aléatoires sur le support d’une mesure aléatoire purement atomique sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ avec taux de sauts aléatoires. Les sauts peuvent être arbitrairement longs. La mesure purement atomique est réversible pour la marche aléatoire et stationnaire pour l’action du groupe $\mathbb{G}={\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ ou $\mathbb{G}={\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$. En combinant la convergence à deux échelles et la théorie de Palm pour les mesures aléatoires $\mathbb{G}$-stationnaires et en développant une procédure de troncation, sous des conditions de moment d’ordre deux appropriées, nous prouvons pour presque tous les environnements l’homogénéisation pour l’équation de Poisson massive du générateur de Markov associé. De plus, nous obtenons la convergence du semi-groupe de Markov ${\mathit{L}}^2$ et de la résolvante de la marche aléatoire, après renormalisation diffusive, vers leur équivalent pour le mouvement brownien de matrice de covariance $2\mathit{D}$. Pour des taux de sauts symétriques, cette convergence joue un rôle crucial dans l’obtention de la limite hydrodynamique pour des modèles de marches multiples avec exclusion ou à portée nulle. Aucune hypothèse d’ellipticité, ou de non-dégénérescence de la matrice homogénéisée D, n’est nécessaire. Nos résultats couvrent une large classe de modèles, qui inclue notamment les modèles de conductances aléatoires sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ et sur réseaux généraux (éventuellement à conductances longues), les modèles de sauts à distance variable de Mott, les marches aléatoires simples sur les triangulations de Delaunay et les marches aléatoires simples sur des amas de percolation surcritiques.