Stationary states of the one-dimensional facilitated asymmetric exclusion process

Abstract

We describe the translation invariant stationary states (TIS) of the one-dimensional facilitated asymmetric exclusion process in continuous time, in which a particle at site $\mathit{i}\in \mathbb{Z}$ jumps to site $\mathit{i}+1$ (respectively $\mathit{i}-1$) with rate p (resp. $1-\mathit{p}$), provided that site $\mathit{i}-1$ (resp. $\mathit{i}+1$) is occupied and site $\mathit{i}+1$ (resp. $\mathit{i}-1$) is empty. All TIS states with density $\mathit{\rho }\le 1/2$ are supported on trapped configurations in which no two adjacent sites are occupied; we prove that if in this case the initial state is i.i.d. Bernoulli then the final state is independent of p. This independence also holds for the system on a finite ring. For $\mathit{\rho }>1/2$ there is only one TIS. It is the infinite volume limit of the probability distribution that gives uniform weight to all configurations in which no two holes are adjacent, and is isomorphic to the Gibbs measure for hard core particles with nearest neighbor exclusion.

Nous décrivons les états stationnaires invariants par translation (TIS) du processus d’exclusion asymétrique facilité unidimensionnel en temps continu, dans lequel une particule sur le site $\mathit{i}\in \mathbb{Z}$ saute vers le site $\mathit{i}+1$ (respectivement $\mathit{i}-1$) avec un taux p (resp. $1-\mathit{p}$), à condition que le site $\mathit{i}-1$ (resp. $\mathit{i}+1$) soit occupé et que le site $\mathit{i}+1$ (resp. $\mathit{i}-1$) soit vide. Tous les états TIS avec une densité $\mathit{\rho }\le 1/2$ sont supportés par des configurations piégées dans lesquelles aucun des deux sites adjacents n’est occupé ; dans ce cas, nous prouvons que si l’état initial est i.i.d. Bernoulli alors l’état final est indépendant de p. Cette indépendance est également valable pour le système sur un anneau fini. Pour $\mathit{\rho }>1/2$ il n’y a qu’un seul TIS. Il s’agit de la limite en volume infini de la mesure de probabilité qui donne un poids uniforme à toutes les configurations dans lesquelles deux trous ne sont pas adjacents, et isomorphe à la mesure de Gibbs pour les particules à noyau dur avec exclusion du plus proche voisin.