Operator-valued matrices with free or exchangeable entries

Abstract

We study matrices whose entries are free or exchangeable noncommutative elements in some tracial ${\mathit{W}}^{\ast }$-probability space. More precisely, we consider operator-valued Wigner and Wishart matrices and prove quantitative convergence to operator-valued semicircular elements over some subalgebra in terms of Cauchy transforms and the Kolmogorov distance. As direct applications, we obtain explicit rates of convergence for a large class of random block matrices with independent or correlated blocks. Our approach relies on a noncommutative extension of the Lindeberg method and operator-valued Gaussian interpolation techniques.

Nous étudions des matrices dont les entrées sont des variables libres ou échangeables d’un W*-espace de probabilités tracial. Plus précisément, nous considérons des matrices de Wigner et de Wishart avec des entrées à valeurs opérateurs et nous montrons la convergence quantitative, vers des variables semi-circulaires à valeurs opérateurs sur une certaine sous-algèbre, en termes de transformées de Cauchy et de distance de Kolmogorov. Comme applications directes, nous obtenons des taux de convergence explicites pour une large classe de matrices aléatoires par blocs avec des blocs indépendants ou corrélés. Notre approche repose sur une extension non-commutative de la méthode de Lindeberg et de techniques d’interpolation gaussiennes à valeurs opérateurs.