Dynamical Gibbs–non-Gibbs transitions in Widom–Rowlinson models on trees

Abstract

We consider the soft-core Widom–Rowlinson model for particles with spins and holes, on a Cayley tree of order d (which has $\mathit{d}+1$ nearest neighbours), depending on repulsion strength β between particles of different signs and on an activity parameter λ for particles. We analyse Gibbsian properties of the time-evolved intermediate Gibbs measure of the static model, under a spin-flip time evolution, in a regime of large repulsion strength β.

We first show that there is a dynamical transition, in which the measure becomes non-Gibbsian at large times, independently of the particle activity, for any $\mathit{d}\ge 2$. In our second and main result, we also show that for large β and at large times, the measure of the set of bad configurations (discontinuity points) changes from zero to one as the particle activity λ increases, assuming that $\mathit{d}\ge 4$. Our proof relies on a general zero-one law for bad configurations on the tree, and the introduction of a set of uniformly bad configurations given in terms of subtree percolation, which we show to become typical at high particle activity.

Nous considérons le modèle de Widom–Rowlinson à contraintes molles constitué des particules de spins et de trous, sur un arbre de Cayley d’ordre d (à $\mathit{d}+1$ plus proches voisins), dépendant d’une force répulsive β entre particules de signes différents et d’un paramètre d’activité λ sur les particules. Nous analysons les propriétés gibbsiennes de l’évolution temporelle de la mesure de Gibbs intermédiaire du modèle statique, au cours d’une dynamique de renversement des spins, dans le régime de forte répulsion β.

Nous mettons d’abord en évidence l’existence d’une transition dynamique, au cours de laquelle la mesure devient non-gibbsienne en temps long, indépendamment de l’activité particulaire, pour tout $\mathit{d}\ge 2$. Dans notre second et principal résultat, nous montrons également que pour les grandes valeurs de β, en temps long, la mesure de l’ensemble des mauvaises configurations (points de discontinuités) passe de zéro à un lorsque l’activité des particules λ croît, en supposant $\mathit{d}\ge 4$. Notre preuve repose sur une loi du 0-1 générale pour les mauvaises configurations sur l’arbre, et sur l’introduction d’un ensemble de configurations uniformément mauvaises exprimé en terme de percolation sur un sous-arbre, que nous montrons être typique à haute activité particulaire.