Diffusivity of a walk on fractures of a hypertorus

Abstract

This article studies discrete height functions on the discrete hypertorus. These are functions on the vertices of this hypertorus graph for which the derivative satisfies a specific condition on each edge. We then perform a random walk on the set of such height functions, in the spirit of Diffusivity of a random walk on random walks, a work of Boissard, Cohen, Espinasse, and Norris. The goal is to estimate the diffusivity of this random walk in the mesh limit. It turns out that each height functions is characterised by a number of so-called fractures of the hypertorus. These fractures are then studied in isolation; we are able to understand their asymptotic behaviour in the mesh limit due to the recent understanding of the associated random surfaces. This allows for an asymptotic reduction to a one-dimensional continuous system consisting of $gcd\mathbf{n}$ parts where $\mathbf{n}\in {\mathbb{N}}^{\mathit{d}}$ is the fundamental parameter of the original model. We then prove that the diffusivity of the random walk tends to $1/(1+2gcd\mathbf{n})$ in this mesh limit.

Cet article étudie des fonctions de hauteur discrètes sur l’hypertore discret. Il s’agit de fonctions définies sur les sommets de l’hypertore dont la dérivée satisfait une certaine condition en chaque arête. Nous considérons une marche aléatoire sur cet ensemble de fonctions, à l’instar des travaux de Boissard, Cohen, Espinasse et Norris dans leur article Diffusivity of a random walk on random walks. L’objectif est d’estimer la diffusivité de cette marche aléatoire dans la limite d’échelle. Nous montrons que toute fonction de hauteur est caractérisée par le nombre de fractures qu’elle induit sur l’hypertore. Nous étudions ensuite ces fractures ; il est possible de comprendre leur comportement asymptotique dans la limite d’échelle grâce à de récents travaux sur les surfaces aléatoires qui leur sont associées. Cela permet de réduire notre étude asymptotique à un système continu à une dimension, constitué de $pgcd\mathbf{n}$ parties, où $\mathbf{n}\in {\mathbb{N}}^{\mathit{d}}$ est un paramètre fondamental du modèle initial. Nous montrons alors que la diffusivité de la marche aléatoire converge vers $1/(1+2pgcd\mathbf{n})$ dans cette limite d’échelle.