A characterization of transportation-information inequalities for Markov processes in terms of dimension-free concentration

Abstract

Inequalities between transportation costs and Fisher information are known to characterize certain concentration properties of Markov processes around their invariant measures. This note provides a new characterization of the quadratic transportation-information inequality ${\mathit{W}}_2\mathit{I}$ in terms of a dimension-free concentration property for i.i.d. (conditionally on the initial positions) copies of the underlying Markov process. This parallels Gozlan’s characterization of the quadratic transportation-entropy inequality ${\mathit{W}}_2\mathit{H}$. The proof is based on a new Laplace-type principle for the operator norms of Feynman-Kac semigroups, which is of independent interest. Lastly, we illustrate how both our theorem and (a form of) Gozlan’s are instances of a general convex-analytic tensorization principle.

Il est connu que les inégalités entre les coûts de transport et l’information de Fisher caractérisent certaines propriétés de concentration des processus de Markov autour de leurs mesures invariantes. Cette note apporte une nouvelle caractérisation de l’inégalité quadratique transport-information ${\mathit{W}}_2\mathit{I}$, en termes d’une propriété de concentration indépendante de la dimension pour les copies i.i.d. (conditionnellement aux positions initiales) du processus de Markov sous-jacent. Ceci est comparable à la caractérisation de Gozlan de l’inégalité quadratique transport-entropie ${\mathit{W}}_2\mathit{H}$. La preuve est basée sur un nouveau principe de type Laplace pour les normes d’opérateurs des semigroupes de Feynman-Kac, qui peut avoir un intérêt indépendant. Enfin, nous expliquons comment notre théorème et (une forme de) celui de Gozlan sont des exemples d’un principe général de tensorisation convexe-analytique.