N-Player games and mean-field games with smooth dependence on past absorptions

Abstract

Mean-field games with absorption is a class of games that has been introduced in (Ann. Appl. Probab. 28 (2018) 2188–2242) and that can be viewed as natural limits of symmetric stochastic differential games with a large number of players who, interacting through a mean-field, leave the game as soon as their private states hit some given boundary.

In this paper, we push the study of such games further, extending their scope along two main directions. First, we allow the state dynamics and the costs to have a very general, possibly infinite-dimensional, dependence on the (non-normalized) empirical sub-probability measure of the survivors’ states. This includes the particularly relevant case where the mean-field interaction among the players is done through the empirical measure of the survivors together with the fraction of absorbed players over time. Second, the boundedness of coefficients and costs has been considerably relaxed including drift and costs with linear growth in the state variables, hence allowing for more realistic dynamics for players’ private states. We prove the existence of solutions of the MFG in strict as well as relaxed feedback form, and we establish uniqueness of the MFG solutions under monotonicity conditions of Lasry–Lions type. Finally, we show in a setting with finite-dimensional interaction that such solutions induce approximate Nash equilibria for the N-player game with vanishing error as $\mathit{N}\to \infty$.

La classe des jeux à champs moyen avec absorption est une classe de jeux qui a été introduite dans (Ann. Appl. Probab. 28 (2018) 2188–2242). Elle peut être vue comme la limite naturelle de jeux différentiels stochastiques symétriques avec un grand nombre de joueurs qui interagissent entre eux par un champ moyen et qui quittent le jeu dès que leur état touche une frontière donnée.

Dans cet article, on poursuit l’étude de ces jeux, en les étendant dans deux directions. Premièrement, on considère des variables d’état et des coûts avec une dépendance très générale des sous-probabilités empiriques (non normalisées) des états des survivants. Ceci inclut le cas particulièrement important où l’interaction entre les joueurs se fait par la mesure empirique des survivants ainsi que par la proportion des joueurs absorbés au cours du temps. Deuxièmement, l’hypothèse des coefficients et coûts bornés a été considérablement relaxée en la remplaçant par celle de croissance linéaire, ce qui permet d’avoir des dynamiques plus réalistes pour les variables d’état. On montre l’existence des solutions du jeu à champ moyen aussi bien pour des contrôles strictes que relaxés. On établit l’unicité de la solution sous des conditions de monotonie à la Lasry–Lions. Enfin, dans un cadre d’interaction fini-dimensionnelle, on montre que ces solutions induisent des équilibres de Nash approchés pour le jeu à N joueurs avec une erreur qui tend vers zéro quand $\mathit{N}\to \infty$.