Almost square permutations are typically square

Abstract

A record in a permutation is a maximum or a minimum, from the left or from the right. The entries of a permutation can be partitioned into two types: the ones that are records are called external points, the others are called internal points. Permutations without internal points have been studied under the name of square permutations. Here, we explore permutations with a fixed number of internals points, called almost square permutations. Unlike with square permutations, a precise enumeration for the total number of almost square permutations of size $\mathit{n}+\mathit{k}$ with exactly k internal points is not known. However, using a probabilistic approach, we are able to determine the asymptotic enumeration. This allows us to describe the permuton limit of almost square permutations with k internal points, both when k is fixed and when k tends to infinity along a negligible sequence with respect to the size of the permutation. Finally, we show that our techniques are quite general by studying the set of 321-avoiding permutations of size n with exactly k additional internal points (k fixed). In this case we obtain an interesting asymptotic enumeration in terms of the Brownian excursion area. As a consequence, we show that the points of a uniform permutation in this set concentrate on the diagonal and the fluctuations of these points converge in distribution to a biased Brownian excursion.

Dans une permutation, un record est un maximum ou un minimum, en partant de la droite ou de la gauche. Les éléments d’une permutation peuvent être classés en deux types : les records (dits points extérieurs) et les autres (dits points intérieurs). Les permutations sans point intérieur ont été étudiées sous le nom de permutations carrées. Ici, nous explorons les permutations ayant un nombre fini de points intérieurs, dites permutations quasi-carrées. Contrairement aux permutations carrées, l’énumération précise du nombre total de permutations quasi-carrées de taille $\mathit{n}+\mathit{k}$ ayant exactement k points intérieurs n’est pas connue. Cependant, grâce à une approche probabiliste, nous sommes capables d’obtenir une énumération asymptotique. Cela nous permet de décrire la limite du permuton d’une permutation presque-carrée ayant k points internes, pour k fixé ou lorsque k tend vers l’infini selon une suite négligeable par rapport à la taille de la permutation. Enfin, nous montrons que nos techniques sont relativement générales en étudiant l’ensemble des permutations de taille n évitant le motif 321 et ayant exactement k points internes supplémentaires (pour k fixé). Dans ce cas, nous obtenons une énumération asymptotique intéressante en termes d’aire de l’excursion Brownienne. Nous montrons que, par conséquent, les points d’une permutation uniforme dans cet ensemble se concentrent sur la diagonale et que leurs fluctuations convergent en distribution vers une excursion Brownienne biaisée.