Incompressible viscous fluids in R2 and SPDEs on graphs, in presence of fast advection and non smooth noise

Abstract

The asymptotic behavior of a class of stochastic reaction-diffusion-advection equations in the plane is studied. We show that as the divergence-free advection term becomes larger and larger, the solutions of such equations converge to the solution of a suitable stochastic PDE defined on the graph associated with the Hamiltonian. Firstly, we deal with the case that the stochastic perturbation is given by a singular spatially homogeneous Wiener process taking values in the space of Schwartz distributions. As in previous works, we assume here that the derivative of the period of the motion on the level sets of the Hamiltonian does not vanish. Then, in the second part, without assuming this condition on the derivative of the period, we study a weaker type of convergence for the solutions of a suitable class of linear SPDEs.

Le comportement asymptotique d’une classe d’équations stochastiques de réaction-diffusion-advection dans le plan est étudié. Nous montrons qu’à mesure que le terme d’advection sans divergence devient de plus en plus grand, les solutions de telles équations convergent vers la solution d’une EDP stochastique appropriée définie sur le graphe associé à l’Hamiltonien. Tout d’abord, nous traitons le cas où la perturbation stochastique est donnée par un processus de Wiener spatialement homogène singulier prenant des valeurs dans l’espace des distributions de Schwartz. Comme dans les travaux précédents, nous supposons ici que la dérivée de la période du mouvement sur les level sets de l’Hamiltonien ne s’annule pas. Puis, dans la seconde partie, sans supposer cette condition sur la dérivée de la période, nous étudions un type de convergence plus faible pour les solutions d’une classe appropriée de EDPS linéaires.