A stochastic Gronwall inequality and applications to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, and perturbations

Abstract

There are numerous applications of the classical (deterministic) Gronwall inequality. Recently, Michael Scheutzow discovered a stochastic Gronwall inequality which provides upper bounds for p-th moments, $\mathit{p}\in (0,1)$, of the supremum of nonnegative scalar continuous processes which satisfy a linear integral inequality. In this article we complement this with upper bounds for p-th moments, $\mathit{p}\in [2,\infty )$, of the supremum of general Itô processes which satisfy a suitable one-sided affine-linear growth condition. As example applications, we improve known results on strong local Lipschitz continuity in the starting point of solutions of stochastic differential equations (SDEs), on (exponential) moment estimates for SDEs, on strong completeness of SDEs, and on perturbation estimates for SDEs.

La version classique (déterministe) de l’inégalité de Gronwall possède de nombreuses applications. Récemment Michael Scheutzow a proposé une version stochastique de cette inégalité. Cette dernière permet de majorer le moment d’ordre $\mathit{p}\in (0,1)$ du supremum des processus réels continus qui satisfont une inégalité intégrale linéaire. Dans cet article nous complétons ce résultat. Nous déterminons des majorants pour les moments d’ordre $\mathit{p}\in [2,\infty )$ du supremum des processus généraux de Itô qui vérifient une certaine condition de croissance affine. Comme application, nous affinons des résultats existants concernant les équations différentielles stochastiques : lipschitziannité locale uniforme en temps par rapport au point de départ, majorations des moments (exponentiels), existence d’une modification continue par rapport au couple temps-point de départ (i.e. strong completeness), théorie des perturbations.