Existence of densities for stochastic differential equations driven by Lévy processes with anisotropic jumps

Abstract

We study existence and Besov regularity of densities for solutions to stochastic differential equations with Hölder continuous coefficients driven by a d-dimensional Lévy process $\mathit{Z}={(\mathit{Z}(\mathit{t}))}_{\mathit{t}\ge 0}$, where, for $\mathit{t}>0$, the density function ${\mathit{f}}_{\mathit{t}}$ of $\mathit{Z}(\mathit{t})$ exists and satisfies, for some ${({\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}})}_{\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{d}}\subset (0,2)$ and $\mathit{C}>0$,

$$\underset{\mathit{t}\to 0}{lim\hspace{0.17em}sup}{\mathit{t}}^{1/{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}|{\mathit{f}}_{\mathit{t}}(\mathit{z}+{\mathit{e}}_{\mathit{i}}\mathit{h})-{\mathit{f}}_{\mathit{t}}(\mathit{z})|\mathit{d}\mathit{z}\le \mathit{C}|\mathit{h}|,\mathit{h}\in \mathbb{R},\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{d}.$$

Here ${\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_{\mathit{d}}$ denote the canonical basis vectors in ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$. The latter condition covers anisotropic $({\mathit{\alpha }}_1,\dots ,{\mathit{\alpha }}_{\mathit{d}})$-stable laws but also particular cases of subordinate Brownian motion. To prove our result we use some ideas taken from (J. Funct. Anal. 264 (2013), 1757–1778).

Nous étudions le problème de l’existence et de l’appartenance à un espace de Besov pour les densités de solutions d’équations différentielles stochastiques à coefficients hölderiens, conduites par un processus de Lévy d-dimensionnel $\mathit{Z}={(\mathit{Z}(\mathit{t}))}_{\mathit{t}\ge 0}$, où, pour $\mathit{t}>0$, la densité ${\mathit{f}}_{\mathit{t}}$ de la loi de $\mathit{Z}(\mathit{t})$ existe et vérifie, pour un certain ${({\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}})}_{\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{d}}\subset (0,2)$ et $\mathit{C}>0$,

$$\underset{\mathit{t}\to 0}{lim\hspace{0.17em}sup}{\mathit{t}}^{1/{\mathit{\alpha }}_{\mathit{i}}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}|{\mathit{f}}_{\mathit{t}}(\mathit{z}+{\mathit{e}}_{\mathit{i}}\mathit{h})-{\mathit{f}}_{\mathit{t}}(\mathit{z})|\mathit{d}\mathit{z}\le \mathit{C}|\mathit{h}|,\mathit{h}\in \mathbb{R},\mathit{i}=1,\dots ,\mathit{d}.$$

Ici, ${\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_{\mathit{d}}$ désignent les vecteurs de la base canonique de ${\mathit{R}}^{\mathit{d}}$. La précédente condition s’applique au cas de lois anisotropiques $({\mathit{\alpha }}_1,\dots ,{\mathit{\alpha }}_{\mathit{d}})$-stables, mais aussi à des cas particuliers de mouvements browniens subordonnés. Pour démontrer ces résultats, nous utilisons certaines idées de (J. Funct. Anal. 264 (2013), 1757–1778).