Continuity in κ in SLEκ theory using a constructive method and Rough Path Theory

Abstract

Questions regarding the continuity in κ of the ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ traces and maps appear very naturally in the study of SLE. In order to study the first question, we consider a natural coupling of SLE traces: for different values of κ we use the same Brownian motion. It is very natural to assume that with probability one, ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ depends continuously on κ. It is rather easy to show that $\mathrm{SLE}$ is continuous in the Carathéodory sense, but showing that $\mathrm{SLE}$ traces are continuous in the uniform sense is much harder. In this note we show that for a given sequence ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{j}}\to \mathit{\kappa }\in (0,8/3)$, for almost every Brownian motion ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ traces converge locally uniformly. This result was also recently obtained by Friz, Tran and Yuan using different methods. In our analysis, we provide a constructive way to study the ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ traces for varying parameter $\mathit{\kappa }\in (0,8/3)$. The argument is based on a new dynamical view on the approximation of SLE curves by curves driven by a piecewise square root approximation of the Brownian motion.

The second question can be answered naturally in the framework of Rough Path Theory. Using this theory, we prove that the solutions of the backward Loewner Differential Equation driven by $\sqrt{\mathit{\kappa }}{\mathit{B}}_{\mathit{t}}$ when started away from the origin are continuous in the p-variation topology in the parameter κ, for all $\mathit{\kappa }\in {\mathbb{R}}_{+}$.

Des questions touchant à la continuité en κ des traces et des applications conformes du ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ apparaissent très naturellement dans l’étude des SLE. Afin d’étudier la première de ces questions, nous considérons un couplage naturel des traces des SLE: pour différentes valeurs de κ nous utilisons le même mouvement brownien. Il est très naturel de supposer qu’avec probabilité 1, ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ dépend continument de κ. Il est assez facile de montrer la continuité dans le sens de Carathéodory, mais montrer une telle continuité uniforme est bien plus ardu. Dans cette note, nous montrons que pour une suite donnée ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{j}}\to \mathit{\kappa }\in (0,8/3)$, et pour presque toute trajectoire du mouvement brownien, les traces de ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ convergent localement uniformément. Ce résultat a été également obtenu récemment par Friz, Tran et Yuan par d’autres méthodes. Dans notre analyse, nous donnons une façon constructive d’étudier les traces de ${\mathrm{SLE}}_{\mathit{\kappa }}$ pour un paramètre variable $\mathit{\kappa }\in (0,8/3)$. L’argument se base sur un nouveau point de vue dynamique sur les approximations des courbes SLE par des courbes conduites par des approximations par morceaux de fonctions racine carrée du mouvement brownien.

La seconde question peut être résolue naturellement dans le cadre de la théorie des chemins rugueux. À l’aide de cette théorie, nous montrons que les solutions de l’équation différentielle de Loewner rétrograde conduite par $\sqrt{\mathit{\kappa }}{\mathit{B}}_{\mathit{t}}$, partant loin de l’origine, sont continues dans la topologie de la p-variation en le paramètre κ, pour tout $\mathit{\kappa }\in {\mathbb{R}}_{+}$.