Abstract
By the continuous mapping theorem, if a sequence of $d$-dimensional random vectors $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq 1}$ converges in distribution to a multivariate normal random variable $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, then the sequence of random variables $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq 1}$ converges in distribution to $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ if $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}$ is continuous. In this paper, we develop Stein’s method for the problem of deriving explicit bounds on the distance between $g(\mathbf{W}_{n})$ and $g(\Sigma^{1/2} \mathbf{Z})$ with respect to smooth probability metrics. We obtain several bounds for the case that the $j$-component of $\mathbf{W}_{n}$ is given by $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, where the $X_{ij}$ are independent. In particular, provided $g$ satisfies certain differentiability and growth rate conditions, we obtain an order $n^{-(p-1)/2}$ bound, for smooth test functions, if the first $p$ moments of the $X_{ij}$ agree with those of the normal distribution. If $p$ is an even integer and $g$ is an even function, this convergence rate can be improved further to order $n^{-p/2}$. These convergence rates are shown to be of optimal order. We apply our general bounds to some examples, which include the distributional approximation of asymptotically chi-square distributed statistics; the approximation of expectations of smooth functions of binomial and Poisson random variables; rates of convergence in the delta method; and a quantitative variance-gamma approximation of the $D_{2}^{*}$ statistic for alignment-free sequence comparison in the case of binary sequences.
Par le théorème de l’application continue, si une suite $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq1}$ de vecteurs aléatoires de dimension $d$ converge en loi vers une loi normale multivariée $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, alors la suite des variables aléatoires $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq1}$ converge en loi vers $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ si $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue. Dans cet article, nous développons la méthode de Stein pour obtenir des bornes explicites sur la distance entre $g(\mathbf{W}_{n})$ et $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$, pour des métriques lisses sur l’espaces des probabilités. Nous obtenons plusieurs bornes dans le cas où la $j$-ème coordonnée de $\mathbf{W}_{n}$ est donnée par $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, où les $X_{ij}$ sont indépendants. En particulier, si $g$ vérifie certains conditions de dérivabilité et de croissance, nous obtenons une borne d’ordre $n^{-(p-1)/2}$, pour des fonctions-test lisses, si les $p$ premiers moments des $X_{ij}$ coïncident avec ceux de la loi normale. Si $p$ est un entier pair et $g$ est une fonction paire, ce taux de convergence peut être encore amélioré en $n^{-p/2}$. Nous montrons que ces taux de convergence sont d’ordre optimal. Nous appliquons nos bornes générales à quelques exemples, incluant l’approximation en loi de statistiques suivant asymptotiquement une loi du chi-deux; l’approximation d’espérances de fonctions lisses de variables aléatoires de loi binomiales ou de Poisson; des taux de convergence pour la méthode $\delta$; et une approximation variance-gamma quantitative de la statistique $D_{2}^{*}$ pour la comparaison sans alignement, dans le cas de suites binaires.
Citation
Robert E. Gaunt. "Stein’s method for functions of multivariate normal random variables." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (2) 1484 - 1513, May 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1011
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