Translator Disclaimer
May 2020 Size of a minimal cutset in supercritical first passage percolation
Barbara Dembin, Marie Théret
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56(2): 1419-1439 (May 2020). DOI: 10.1214/19-AIHP1008

Abstract

We consider the standard model of i.i.d. first passage percolation on $\mathbb{Z}^{d}$ given a distribution $G$ on $[0,+\infty ]$ (including $+\infty $). We suppose that $G(\{0\})>1-p_{c}(d)$, i.e., the edges of positive passage time are in the subcritical regime of percolation on $\mathbb{Z}^{d}$. We consider a cylinder of basis an hyperrectangle of dimension $d-1$ whose sides have length $n$ and of height $h(n)$ with $h(n)$ negligible compared to $n$ (i.e., $h(n)/n\rightarrow 0$ when $n$ goes to infinity). We study the maximal flow from the top to the bottom of this cylinder. We already know that the maximal flow renormalized by $n^{d-1}$ converges towards the flow constant which is null in the case $G(\{0\})>1-p_{c}(d)$. The study of maximal flow is associated with the study of sets of edges of minimal capacity that cut the top from the bottom of the cylinder. If we denote by $\psi_{n}$ the minimal cardinality of such a set of edges, we prove here that $\psi_{n}/n^{d-1}$ converges almost surely towards a constant.

Considérons le modèle de percolation de premier passage i.i.d. dans $\mathbb{Z}^{d}$ associé à la distribution $G$ sur $[0,+\infty ]$ (en incluant $+\infty $). Supposons que $G(\{0\})>1-p_{c}(d)$, i.e., les arêtes ayant un temps de passage strictement positif sont dans un régime sous-critique de percolation dans $\mathbb{Z}^{d}$. Considérons un cylindre ayant pour base un hyperrectangle de dimension $d-1$ de côté de longueur $n$ et de hauteur $h(n)$ avec $h(n)$ négligeable devant $n$ (i.e., $h(n)/n\rightarrow 0$ quand $n$ tend vers l’infini). Nous nous intéressons à la quantité maximale de flux pouvant circuler de haut en bas dans le cylindre. Le flux maximal renormalisé par $n^{d-1}$ converge vers la constante de flux qui est nulle dans le cas où $G(\{0\})>1-p_{c}(d)$. L’étude du flux maximal est équivalente à l’étude des ensembles d’arêtes de capacité minimale séparant le haut du bas du cylindre. Notons $\psi_{n}$ le cardinal minimal de tels ensembles d’arêtes, nous prouvons ici que $\psi_{n}/n^{d-1}$ converge presque sûrement vers une constante.

Citation

Download Citation

Barbara Dembin. Marie Théret. "Size of a minimal cutset in supercritical first passage percolation." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (2) 1419 - 1439, May 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1008

Information

Received: 8 March 2018; Revised: 7 February 2019; Accepted: 28 May 2019; Published: May 2020
First available in Project Euclid: 16 March 2020

zbMATH: 07199903
MathSciNet: MR4076789
Digital Object Identifier: 10.1214/19-AIHP1008

Subjects:
Primary: 60K35
Secondary: 82B20

Rights: Copyright © 2020 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
21 PAGES

This article is only available to subscribers.
It is not available for individual sale.
+ SAVE TO MY LIBRARY

SHARE
Vol.56 • No. 2 • May 2020
Back to Top