Hydrodynamic limit for a facilitated exclusion process

Abstract

We study the hydrodynamic limit for a periodic $1$-dimensional exclusion process with a dynamical constraint, which prevents a particle at site $x$ from jumping to site $x\pm 1$ unless site $x\mp 1$ is occupied. This process with degenerate jump rates admits transient states, which it eventually leaves to reach an ergodic component, assuming that the initial macroscopic density is larger than $\frac{1}{2}$, or one of its absorbing states if this is not the case. It belongs to the class of conserved lattice gases (CLG) which have been introduced in the physics literature as systems with active-absorbing phase transition in the presence of a conserved field. We show that, for initial profiles smooth enough and uniformly larger than the critical density $\frac{1}{2}$, the macroscopic density profile for our dynamics evolves under the diffusive time scaling according to a fast diffusion equation (FDE). The first step in the proof is to show that the system typically reaches an ergodic component in subdiffusive time.

Nous étudions la limite hydrodynamique d’un système d’exclusion unidimensionnel avec une contrainte dynamique, qui empêche une particule en $x$ de sauter en $x\pm 1$ à moins que $x\mp 1$ soit occupé. Ce processus à taux de sauts dégénérés admet des états transients, qu’il finit par quitter pour atteindre une composante ergodique dans le cas où la densité initiale macroscopique est supérieure à $\frac{1}{2}$, ou un de ses états absorbants dans l’autre cas. Ce processus fait partie des gaz conservatifs sur réseau, qui ont été introduits dans la litérature physique comme systèmes présentant une transition de phase active-absorbante en présence d’un champ conservé. Nous montrons que pour des profils initiaux de densité suffisamment réguliers et strictement supérieurs à $\frac{1}{2}$, le profil de densité macroscopique évolue à l’échelle diffusive suivant une équation de diffusion rapide (FDE). La première étape de la preuve consiste à montrer que, typiquement, le système atteint une composante ergodique en temps sous-diffusif.