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August 2019 Mixing times for a constrained Ising process on the two-dimensional torus at low density
Natesh S. Pillai, Aaron Smith
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55(3): 1649-1678 (August 2019). DOI: 10.1214/18-AIHP930

Abstract

We study a kinetically constrained Ising process (KCIP) associated with a graph $G$ and density parameter $p$; this process is an interacting particle system with state space $\{0,1\}^{G}$, the locations of the particles. The ‘constraint’ in the name of the process refers to the rule that a vertex cannot change its state unless it has at least one neighbour in state ‘1’. The KCIP has been proposed by statistical physicists as a model for the glass transition. In this note, we study the mixing time of a KCIP on the 2-dimensional torus $G=\mathbb{Z}_{L}^{2}$ in the low-density regime $p=\frac{c}{L^{2}}$ for arbitrary $0<c<\infty$, extending our previous results for the analogous process on the torus $\mathbb{Z}_{L}^{d}$ in dimension $d\geq3$. Our general approach is similar, but the extension requires more delicate bounds on the behaviour of the process at intermediate densities.

Nous étudions un processus d’Ising avec contraintes cinétiques (PICC) associé à un graphe $G$ et un paramètre de densité $p$. Ce processus est un système de particules en interaction avec espace d’états $\Omega=\{0,1\}^{G}$, décrivant les positions des particules. Les « contraintes » apparaissant dans le nom de ce processus réfèrent à la règle suivante: un sommet ne peut pas changer son état à moins qu’il ait un voisin dans l’état « 1 ». Le PICC a été proposé par des physiciens comme un modèle pour la transition vitreuse. Dans ce travail, nous analysons le temps de mélange d’un PICC sur le tore de dimension 2 $G=\mathbb{Z}_{L}^{2}$ dans le régime de faible densité $p=\frac{c}{L^{2}}$, où $0<c<\infty$. Ceci prolonge nos résultats au processus analogue sur le tore $G=\mathbb{Z}_{L}^{d}$, $d\geq3$. Notre approche générale est similaire, mais cette extension requiert des bornes plus délicates sur le comportement du processus aux densités intermédiaires.

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Natesh S. Pillai. Aaron Smith. "Mixing times for a constrained Ising process on the two-dimensional torus at low density." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55 (3) 1649 - 1678, August 2019. https://doi.org/10.1214/18-AIHP930

Information

Received: 29 August 2017; Revised: 24 May 2018; Accepted: 4 September 2018; Published: August 2019
First available in Project Euclid: 25 September 2019

zbMATH: 07133733
MathSciNet: MR4010947
Digital Object Identifier: 10.1214/18-AIHP930

Subjects:
Primary: 60J10
Secondary: 60J20

Rights: Copyright © 2019 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
30 PAGES

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Vol.55 • No. 3 • August 2019
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