Parabolic Anderson model with rough or critical Gaussian noise

Abstract

This paper considers the parabolic Anderson equation

\[{\frac{\partial u}{\partial t}}={\frac{1}{2}}\Delta u+u{\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\partial x_{1}\cdots\partial x_{d}}}\] generated by a $(d+1)$-dimensional fractional noise with the Hurst parameter $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots,H_{d})$. The existence/uniqueness, Feynman–Kac’s moment formula and the precise intermittency exponents are formulated in the case when some of $H_{1},\ldots,H_{d}$ are less than one half, and in the case when the Dalang’s condition

\[d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}<1\quad\mbox{is replaced by }d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}=1.\] Some partial result is also achieved for the case when $H_{0}<1/2$ which brings insight on what to expect as the Gaussian noise is rough in time.

Cet article s’intéresse à l’équation d’Anderson parabolique

\[{\frac{\partial u}{\partial t}}={\frac{1}{2}}\Delta u+u{\frac{\partial^{d+1}W^{\mathbf{H}}}{\partial t\partial x_{1}\cdots\partial x_{d}}}\] engendrée par un bruit fractionnaire de dimension $(d+1)$ et de paramètre de Hurst $\mathbf{H}=(H_{0},H_{1},\ldots,H_{d})$. L’existence et l’unicité, la formule des moments de Feynman–Kac et les exposants précis d’intermittence sont formulés dans le cas où l’un des paramètres $H_{1},\ldots,H_{d}$ est inférieur à un demi, et dans le cas où la condition de Dalang

\[d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}<1\quad\mbox{est remplacée par }d-\sum_{k=1}^{n}H_{j}=1.\] Des résultats partiels sont aussi obtenus dans la cas $H_{0}<1/2$, ce qui donne une intuition de ce qui doit être attendu dans le cas où le bruit Gaussien est rugueux en temps.