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May 2019 Comparing mixing times on sparse random graphs
Anna Ben-Hamou, Eyal Lubetzky, Yuval Peres
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55(2): 1116-1130 (May 2019). DOI: 10.1214/18-AIHP911

Abstract

It is natural to expect that nonbacktracking random walk will mix faster than simple random walks, but so far this has only been proved in regular graphs. To analyze typical irregular graphs, let $G$ be a random graph on $n$ vertices with minimum degree 3 and a degree distribution that has exponential tails. We determine the precise worst-case mixing time for simple random walk on $G$, and show that, with high probability, it exhibits cutoff at time ${\mathbf{h}}^{-1}\log n$, where ${\mathbf{h}}$ is the asymptotic entropy for simple random walk on a Galton–Watson tree that approximates $G$ locally. (Previously this was only known for typical starting points.) Furthermore, we show this asymptotic mixing time is strictly larger than the mixing time of nonbacktracking walk, via a delicate comparison of entropies on the Galton–Watson tree.

Il est naturel de s’attendre à ce que la marche aléatoire sans rebroussement mélange plus vite que la marche aléatoire simple, mais jusqu’ici, cela n’était prouvé que dans le cas des graphes réguliers. Pour analyser le cas de graphes irréguliers typiques, soit $G$ un graphe aléatoire à $n$ sommets de degrés au moins $3$ et distribués selon une loi à queue exponentielle. On détermine le temps de mélange partant du pire point de départ pour la marche aléatoire simple sur $G$, et l’on montre qu’avec grande probabilité, cette marche présente le phénomène de cutoff au temps ${\mathbf{h}}^{-1}\log n$, où ${\mathbf{h}}$ est l’entropie asymptotique de la marche aléatoire simple sur un arbre de Galton–Watson qui est une approximation locale de $G$. (Précédemment, cela n’était connu que pour des points de départ typiques.) De plus, on montre que ce temps de mélange est strictement plus grand que celui de la marche aléatoire sans rebroussement, via une comparison délicate des entropies sur l’arbre de Galton–Watson.

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Anna Ben-Hamou. Eyal Lubetzky. Yuval Peres. "Comparing mixing times on sparse random graphs." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55 (2) 1116 - 1130, May 2019. https://doi.org/10.1214/18-AIHP911

Information

Received: 28 July 2017; Revised: 3 April 2018; Accepted: 24 April 2018; Published: May 2019
First available in Project Euclid: 14 May 2019

zbMATH: 1403.05133
MathSciNet: MR3949966
Digital Object Identifier: 10.1214/18-AIHP911

Subjects:
Primary: 60J10
Secondary: 05C80

Rights: Copyright © 2019 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
15 PAGES

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Vol.55 • No. 2 • May 2019
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