Martingale defocusing and transience of a self-interacting random walk

Abstract

Suppose that $(X,Y,Z)$ is a random walk in $\mathbb{Z}^{3}$ that moves in the following way: on the first visit to a vertex only $Z$ changes by $\pm1$ equally likely, while on later visits to the same vertex $(X,Y)$ performs a two-dimensional random walk step. We show that this walk is transient thus answering a question of Benjamini, Kozma and Schapira. One important ingredient of the proof is a dispersion result for martingales.

Supposons que $(X,Y,Z)$ soit une marche aléatoire dans $\mathbb{Z}^{3}$ qui se déplace de la façon suivante : à la première visite en un site, seule la coordonnée $Z$ saute de $\pm1$ avec probabilité uniforme, et aux visites suivantes en ce site $(X,Y)$ effectue un saut dans l’ensemble $\{(\pm1,0),(0,\pm1)\}$ avec probabilité uniforme. Nous montrons que cette marche est transiente, répondant ainsi à une question de Benjamini, Kozma et Schapira. Un ingrédient important de la preuve est un résultat de dispersion pour les martingales.