A free stochastic partial differential equation

Abstract

We get stationary solutions of a free stochastic partial differential equation. As an application, we prove equality of non-microstate and microstate free entropy dimensions under a Lipschitz like condition on conjugate variables, assuming also the von Neumann algebra $R^{\omega}$ embeddable. This includes an $N$-tuple of $q$-Gaussian random variables e.g. for $|q|N\leq0.13$.

Nous construisons des solutions stationnaires de certaines équations différentielles stochastiques libres à coefficients opérateurs non-bornés. Comme application, nous montrons l’égalité des dimensions entropiques libres microcanonique et non-microcanonique sous l’hypothèse d’une variable conjuguée Lipschitz pour les générateurs $X_{1},\ldots,X_{N}$ d’un espace de probabilité non-commutatif inscriptible dans une ultrapuissance $R^{\omega}$ du facteur hyperfini. Cette hypothèse de variable conjuguée Lipschitz inclut le cas de $N$ variables aléatories $q$-Gaussiennes pour de petits $q$ par exemple $|q|N\leq0.13$.