We present a generalization of the method of the local relaxation flow to establish the universality of local spectral statistics of a broad class of large random matrices. We show that the local distribution of the eigenvalues coincides with the local statistics of the corresponding Gaussian ensemble provided the distribution of the individual matrix element is smooth and the eigenvalues {x_j}_j=1^N are close to their classical location {γ_j}_j=1^N determined by the limiting density of eigenvalues. Under the scaling where the typical distance between neighboring eigenvalues is of order 1/N, the necessary apriori estimate on the location of eigenvalues requires only to know that $\mathbb {E}|x_{j}-\gamma_{j}|^{2}\leN^{-1-\varepsilon}$ on average. This information can be obtained by well established methods for various matrix ensembles. We demonstrate the method by proving local spectral universality for sample covariance matrices.

Nous présentons une généralisation de la méthode du flot de relaxation locale servant à établir l’universalité des statistiques spectrales locales d’une vaste classe de grandes matrices aléatoires. Nous démontrons que la distribution locale des valeurs propres coïncide avec celle de l’ensemble gaussien pourvu que la loi des coefficients individuels de la matrice soit lisse et que les valeurs propres {x_j}_j=1^N soient près de leurs quantiles classiques {γ_j}_j=1^N determinées par la densité limite des valeurs propres. Dans la normalisation où la distance typique entre les valeurs propres voisines est d’ordre 1/N, la borne a priori nécessaire sur la position des valeurs propres nécessite uniquement l’établissement de $\mathbb {E}|x_{j}-\gamma_{j}|^{2}\leN^{-1-\varepsilon}$ en moyenne. Cette information peut être obtenue par des méthodes bien établies pour divers ensembles de matrices. Nous illustrons la méthode en démontrant l’universalité spectrale locale pour des matrices de covariance.

We study the universality of the local eigenvalue statistics of Gaussian divisible Hermitian Wigner matrices. These random matrices are obtained by adding an independent GUE matrix to an Hermitian random matrix with independent elements, a Wigner matrix. We prove that Tracy–Widom universality holds at the edge in this class of random matrices under the optimal moment condition that there is a uniform bound on the fourth moment of the matrix elements. Furthermore, we show that universality holds in the bulk for Gaussian divisible Wigner matrices if we just assume finite second moments.

Nous étudions l’universalité des statistiques locales du spectre des matrices de Wigner hermitiennes divisibles par une gaussienne. Ces matrices aléatoires sont obtenues en ajoutant à une matrice de Wigner hermitienne avec des coefficients indépendants une matrice du GUE indépendante. Nous montrons que la classe d’universalité de la loi de Tracy–Widom pour les valeurs propres extrêmes est vérifiée sous la condition optimale d’une borne uniforme sur le quatrième moment des coefficients de la matrice. De plus, nous démontrons l’universalité des fluctuations dans l’intérieur du spectre dès lors que le second moment est fini.

We consider complex sample covariance matrices M_N = (1/N)YY* where Y is a N × p random matrix with i.i.d. entries Y_ij, 1 ≤ i ≤ N, 1 ≤ j ≤ p, with distribution F. Under some regularity and decay assumptions on F, we prove universality of some local eigenvalue statistics in the bulk of the spectrum in the limit where N → ∞ and lim_N→∞ p/N = γ for any real number γ ∈ (0, ∞).

On considère des matrices de covariance empirique complexes M_N = (1/N)YY* où Y est une matrice de taille N × p dont les coefficients Y_ij, 1 ≤ i ≤ N, 1≤j ≤ p, sont des variables aléatoires i.i.d. de loi F. Sous certaines hypothèses de régularité et de décroissance sur F, on montre l’universalité de certaines statistiques locales de valeurs propres au milieu du spectre quand N → ∞ et lim_N→∞ p/N = γ pour tout réel γ ∈ (0, ∞).

In this paper, we study the fluctuations of the extreme eigenvalues of a spiked finite rank deformation of a Hermitian (resp. symmetric) Wigner matrix when these eigenvalues separate from the bulk. We exhibit quite general situations that will give rise to universality or non-universality of the fluctuations, according to the delocalization or localization of the eigenvectors of the perturbation. Dealing with the particular case of a spike with multiplicity one, we also establish a necessary and sufficient condition on the associated normalized eigenvector so that the fluctuations of the corresponding eigenvalue of the deformed model are universal.

Dans ce papier, nous étudions les fluctuations des valeurs propres extrémales d’une matrice de Wigner hermitienne (resp. symétrique) déformée par une perturbation de rang fini dont les valeurs propres non nulles sont fixées, dans le cas où ces valeurs propres extrémales se détachent du reste du spectre. Nous décrivons des situations générales d’universalité ou de non-universalité des fluctuations correspondant au caractère localisé ou délocalisé des vecteurs propres de la perturbation. Lorsque l’une des valeurs propres de la perturbation est de multiplicité un, nous établissons de plus une condition nécessaire et suffisante sur le vecteur propre associé pour que les fluctuations de la valeur propre correspondante du modèle déformé soient universelles.

There has been much success in describing the limiting spatial fluctuations of growth models in the Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) universality class. A proper rescaling of time should introduce a non-trivial temporal dimension to these limiting fluctuations. In one-dimension, the KPZ class has the dynamical scaling exponent z = 3/2, that means one should find a universal space–time limiting process under the scaling of time as tT, space like t^2/3X and fluctuations like t^1/3 as t → ∞.

In this paper we provide evidence for this belief. We prove that under certain hypotheses, growth models display temporal slow decorrelation. That is to say that in the scalings above, the limiting spatial process for times tT and tT + t^ν are identical, for any ν < 1. The hypotheses are known to be satisfied for certain last passage percolation models, the polynuclear growth model, and the totally/partially asymmetric simple exclusion process. Using slow decorrelation we may extend known fluctuation limit results to space–time regions where correlation functions are unknown.

The approach we develop requires the minimal expected hypotheses for slow decorrelation to hold and provides a simple and intuitive proof which applies to a wide variety of models.

Récemment des progrès notables ont été obtenus dans la description des fluctuations « spatiales » limites pour certains modèles de croissance dans la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ). Grâce à un changement d’échelle temporelle approprié, les fluctuations en espace-temps pour ces modèles sont censées être non triviales. En dimension 1, on conjecture que l’exposant d’échelle dynamique est z = 3/2. Donc si on considère le changement d’échelle suivant: temps ∼tT, espace ∼t^2/3X et fluctuations ∼t^1/3, on s’attend à obtenir dans la limite t → ∞ un processus universel en espace-temps.

Dans cet article on montre, sous des hypothèses assez générales, l’existence du phenomène de decorrélation lente dans des modèles de croissance, c’est-à-dire que les processus spatiaux limites pour des temps tT et tT + t^ν sont identiques, quelque soit ν < 1. On montre que ces hypothèses sont en particulier satisfaites par certains modèles de percolation de dernier passage, le modèle de croissance polynucléaire et le processus d’exclusion simple complètement/partiellement asymétrique. À l’aide de la decorrélation lente on peut ainsi étendre les résultats sur les fluctuations limites spatiales à des régions de l’espace-temps pour lequelles les fonctions de corrélations sont inconnues.

L’approche utilisée dans cet article est basée sur des hypothèses minimales pour la decorrélation lente et donne une preuve simple, intuitive, qui s’applique à une large classe de modèles.

We prove fluctuation bounds for the particle current in totally asymmetric zero range processes in one dimension with nondecreasing, concave jump rates whose slope decays exponentially. Fluctuations in the characteristic directions have order of magnitude t^1/3. This is in agreement with the expectation that these systems lie in the same KPZ universality class as the asymmetric simple exclusion process. The result is via a robust argument formulated for a broad class of deposition-type processes. Besides this class of zero range processes, hypotheses of this argument have also been verified in the authors’ earlier papers for the asymmetric simple exclusion and the constant rate zero range processes, and are currently under development for a bricklayers process with exponentially increasing jump rates.

Nous démontrons des bornes sur les fluctuations du courant de particules pour des processus de zero-range unidimensionnels totalement asymétriques avec des taux de sauts concaves dont la pente décroît exponentiellement. Les fluctuations dans la direction des caractéristiques sont de l’ordre t^1/3 en accord avec les prédictions de la classe d’universalité de KPZ. Notre résultat est obtenu par un raisonnement robuste qui est formulé pour une classe importante de processus de déposition. Au-delà du processus de zero-range, les hypothèses de notre argument ont aussi été vérifiées dans des articles antérieurs pour le processus d’exclusion simple asymétrique et le processus de zero-range avec taux constants. Ces hypothèses sont en cours de développement pour un processus de déposition avec des taux de sauts dont la croissance est exponentielle.

Fix a polynomial Φ of the form Φ(α) = α + ∑_2≤j≤m a_j α_k=1^j with Φ'(1) > 0. We prove that the evolution, on the diffusive scale, of the empirical density of exclusion processes on ${\mathbb{T}}^{d}$, with conductances given by special class of functions W, is described by the unique weak solution of the non-linear parabolic partial differential equation ∂_tρ = ∑^d ∂_xk ∂_Wk Φ(ρ). We also derive some properties of the operator ∑_k=1^d ∂_xk ∂_Wk.

Étant donné un polynôme Φ de la forme Φ(α) = α + ∑_2≤j≤m a_j α_k=1^j respectant Φ'(1) > 0, nous démontrons que l’évolution, sur une échelle diffusive, de la densité empirique des processus d’exclusion sur ${\mathbb{T}}^{d}$, dont les conductances sont données par une classe spéciale de fonctions W, est décrite par l’unique solution faible de l’équation aux dérivées partielles parabolique : ∂_tρ=∑^d ∂_xk ∂_Wk Φ(ρ). Nous dérivons également certaines propriétés de l’opérateur ∑_k=1^d∂_xk ∂_Wk.

We consider a generic diffusion on the 1D torus and give a simple representation formula for the large deviation rate functional of its invariant probability measure, in the limit of vanishing noise. Previously, this rate functional had been characterized by M. I. Freidlin and A. D. Wentzell as solution of a rather complex optimization problem. We discuss this last problem in full generality and show that it leads to our formula. We express the rate functional by means of a geometric transformation that, with a Maxwell-like construction, creates flat regions.

We then consider piecewise deterministic Markov processes on the 1D torus and show that the corresponding large deviation rate functional for the stationary distribution is obtained by applying the same transformation. Inspired by this, we prove a universality result showing that the transformation generates viscosity solution of stationary Hamilton–Jacobi equation associated to any Hamiltonian H satisfying suitable weak conditions.

Dans cet article, nous considérons une diffusion sur le tore de dimension 1 pour laquelle nous établissons une formule simple pour la fonction de taux d’un principe de grandes déviations pour sa mesure invariante, lorsque le bruit tend vers 0. Cette fonction de taux a été précédemment caractérisée par M. I. Freidlin et A. D. Wentzell comme la solution d’un problème d’optimisation plutôt compliqué. En réduisant ce problème, nous établissons notre formule à travers une transformation géométrique qui, à l’aide d’une construction de type Maxwell, crée des régions plates.

Nous considérons également des processus de Markov déterministes par morceaux, sur le tore de dimension 1. Nous montrons que la fonction de taux, dans un principe de grandes déviations pour la mesure invariante, peut être obtenue en considérant de nouveau la même transformation géométrique.

Inspirés par ces similarités, nous prouvons un résultat d’universalité de cette transformation en montrant qu’elle engendre la solution de viscosité d’une équation d’Hamilton–Jacobi stationnaire, associée à un Hamiltonien H qui satisfait à certaines hypothèses minimales.

We consider a variation of the standard Hastings–Levitov model HL(0), in which growth is anisotropic. Two natural scaling limits are established and we give precise descriptions of the effects of the anisotropy. We show that the limit shapes can be realised as Loewner hulls and that the evolution of harmonic measure on the cluster boundary can be described by the solution to a deterministic ordinary differential equation related to the Loewner equation. We also characterise the stochastic fluctuations around the deterministic limit flow.

Dans cet article, on presente une étude d’une version du modèle de Hastings–Levitov HL (0) où la croissance est anisotrope. Deux limites d’échelle naturelles sont établies, et nous décrivons précisément les effets de l’anisotropie. Nous montrons que les formes limites du modèle peuvent être réalisées comme remplissages associés à l’équation de Loewner et que l’évolution de la mesure harmonique sur la frontière des agrégats tend vers un certain flot deterministe. Nous caractérisons enfin les fluctuations stochastiques autour de ce flot.

Let W be a sum of independent random variables. We apply the zero bias transformation to deduce recursive asymptotic expansions for $\mathbb {E}[h(W)]$ in terms of normal expectations, or of Poisson expectations for integer-valued random variables. We also discuss the estimates of remaining errors.

Soit W une somme de variables aléatoires indépendants. On applique la transformation zéro biais pour obtenir de façon recursive des développements asymptotiques de $\mathbb {E}[h(W)]$ en terme d’espérances par rapport à la loi normale, ou à la loi de Poisson si les variables aléatoires sont à valeurs entières. On discute aussi les bornes des termes d’erreur.

Given a sample from a discretely observed Lévy process X = (X_t)_t≥0 of the finite jump activity, the problem of nonparametric estimation of the Lévy density ρ corresponding to the process X is studied. An estimator of ρ is proposed that is based on a suitable inversion of the Lévy–Khintchine formula and a plug-in device. The main results of the paper deal with upper risk bounds for estimation of ρ over suitable classes of Lévy triplets. The corresponding lower bounds are also discussed.

Soit un échantillon d’un processus de Lévy X = (X_t)_t≥0 à activité finie observé en temps discret, le problème d’estimation non-paramétrique de la densité de Lévy ρ est étudié. Un estimateur de ρ est proposé basé sur une inversion de Fourier de la formule de Lévy–Khintchine et un principe de plug-in. Les principaux résultats de cet article portent sur la majoration du risque de l’estimateur de ρ pour des classes de triplets de Lévy. La minoration du risque est aussi discutée.