Windings of planar random walks and averaged Dehn function

Abstract

We prove sharp estimates on the expected number of windings of a simple random walk on the square or triangular lattice. This gives new lower bounds on the averaged Dehn function, which measures the expected area needed to fill a random curve with a disc.

Le principal résultat de cet article donne un équivalent précis de l’espérance du nombre total de tours effectués par la marche aléatoire simple sur ℤ² ou sur le réseau triangulaire. Comme corollaire, nous obtenons une nouvelle borne inférieure de la fonction de Dehn moyennée sur ℤ^d, d ≥ 2, qui mesure l’aire moyenne du disque remplissant de manière optimale une courbe de longueur donnée.