Concentration et randomisation universelle de sous-espaces propres

Abstract

Nous étudions des conditions nécessaires et suffisantes de convergence pour des séries aléatoires de fonctions propres dans $L^p$, avec $p$ fini. De façon précise, nous montrons des résultats optimaux pour les harmoniques sphériques sur ${\mathbb{S}}^d$ et l’oscillateur harmonique sur ${ℝ}^d$ (cela améliore des résultats de Ayache–Tzvetkov, Grivaux et Imekraz–Robert–Thomann). Dans le cas multidimensionnel, nous utiliserons des séries aléatoires faisant intervenir des matrices aléatoires. Cela nous permettra de donner un éclairage sur la construction d’une famille de mesures construites par Burq–Lebeau sur l’espace de Hilbert d’une variété riemannienne compacte. En fait, nous montrons que c’est précisément parce que $L^p$ est de cotype fini que cette construction est possible (il s’agit d’une version multidimensionnelle du théorème de Maurey–Pisier).

We study necessary and sufficient conditions of convergence for random series of eigenfunctions in $L^p$, for finite $p$. More precisely, we get optimal results for the spherical harmonics on ${\mathbb{S}}^d$ and for the harmonic oscillator on ${ℝ}^d$ (this improves results by Ayache–Tzvetkov, Grivaux and Imekraz–Robert–Thomann). In the multidimensional framework, our random series involve random matrices. This illuminates a construction, made by Burq–Lebeau, of a family of specific measures on the Hilbert space of a Riemannian boundaryless compact manifold. Actually, we show that the latter construction is possible because $L^p$ has finite cotype (this is nothing but a multidimensional version of the Maurey–Pisier theorem).