Sur les invariants d'Iwasawa dans les extensions de Lie $p$-adiques

Abstract

Soit $K_{\infty }∕K$ une extension infinie du corps de nombres $K$, dont le groupe de Galois $G$ est un pro-$p$-groupe $p$-valué de type fini et dans laquelle seul un nombre fini de places sont ramifiées. La filtration entière de $G$ fixe des étages finis $K_n∕K$ dans la tour $K_{\infty }∕K$. Pour deux ensembles finis $S$ et $T$ de places de $K$, on attache à $K_n$ le groupe de Galois $X_{S,n}^T$ de sa pro-$p$-extension abélienne $S$-ramifiée et $T$-décomposée maximale, que la théorie du corps de classes interprète comme un groupe des classes généralisées. On démontre pour ces groupes des formules asymptotiques semblables à celle du théorème d’Iwasawa sur l’évolution du nombre de classes le long d’une ${\mathbb{Z}}_p$-extension. Les preuves utilisent les résultats de structure en théorie d’Iwasawa non-commutative et font apparaître les invariants d’Iwasawa attachés au module à l’infini $X_{S,\infty }^T$. Ces formules donnent des relations de dualité entre les invariants de $X_{S,\infty }^T$ et ceux de $X_{T,\infty }^S$, et débouchent sur des calculs d’invariants d’Iwasawa.

Let $K_{\infty }∕K$ be an infinite extension of the number field $K$, with a $p$-valued pro--$p$-group of finite type $G$ as Galois group, and such that only finitely many primes are ramified in this extension. The integral filtration on $G$ fixes finite layers $K_n∕K$ in the tower $K_{\infty }∕K$. For $S$ and $T$ two finite sets of primes of $K$, one can attach to $K_n$ the Galois group $X_{S,n}^T$ of his maximal $S$-ramified and $T$-split abelian pro--$p$-extension, which can be viewed as a generalized class group via class field theory. For these groups, we prove asymptotic formulas similar to Iwasawa’s theorem on class numbers in ${\mathbb{Z}}_p$-extensions. The proofs use structure results in noncommutative Iwasawa theory and involve Iwasawa’s invariants of the module at infinity $X_{S,\infty }^T$. These formulas give duality relations between invariants of $X_{S,\infty }^T$ and those of $X_{T,\infty }^S$, and lead to computations of Iwasawa invariants.