Uniform in Bandwidth Law of the Iterated Logarithm for a Transformation Kernel Estimator of Copulas

Abstract

In this paper, we establish a uniform in bandwidth law of the iterated logarithm for the Transformation kernel estimator of bivariate copulas introduced in Omelka et al. (2009). To this end, we make use of a general empirical process approach inspired by the works in Mason and Swanepoel (2011). We obtain the asymptotic order of the maximal deviation of this estimator from its expectation. Then, we show that the bias converges asymptotically to zero at the same order provided that the second-order partial derivatives of the copula exist and are bounded. We also propose a bandwidth selection method by using a cross-validation approach. Finally, we compare in a simulation study the performances of the Transformation kernel estimator by considering two different methods of selecting the bandwidth.

Nous établissons une loi du logarithme itéré uniforme en la fenêtre pour l'estimateur à noyau de Transformation de la copule bivariée proposé par Omelka et al. (2009). Notre méthodologie utilise une approche générale de processus empirique développée dans les travaux de Mason and Swanepoel (2011) et nous a permis d'obtenir la vitesse de convergence asymptotique de la deviation maximale de cet estimateur par rapport à son espérance. Nous avons aussi montré, sous des hypothèses assez douces concernant la fonction copule, que le biais de l'estimateur converge asymptotiquement vers 0, avec la même vitesse. Une méthode de sélection du paramètre de lissage h, utilisant l'approche de la validation croisée est proposée. Enfin, nous comparons par une étude de simulation cette approche avec une autre approche de sélection de fenêtre basée sur une distribution de référence et proposée par Omelka et al. (2009).