Active phase for activated random walks on $\mathbb{Z}^{d}$, $d\geq3$, with density less than one and arbitrary sleeping rate

Abstract

It has been conjectured that the critical density of the Activated Random Walk model is strictly less than one for any value of the sleeping rate. We prove this conjecture on $\mathbb{Z}^{d}$ when $d\geq3$ and, more generally, on graphs where the random walk is transient. Moreover, we establish the occurrence of a phase transition on non-amenable graphs, extending previous results which require that the graph is amenable or a regular tree.

Il a été conjecturé que la densité critique pour le modèle de marches aléatoires activées était strictement inférieur à 1 pour toute valeur du taux d’endormissement. Nous démontrons cette conjecture pour $\mathbb{Z}^{d}$ quand $d\geq3$ et, plus généralement, pour les graphes sur lesquels la marche aléatoire est transitoire. De plus, nous montrons l’existence d’une transition de phase pour les graphes non moyennables, généralisant ainsi des résultats antérieurs qui demandaient que le graphe soit moyennable ou un arbre régulier.