Universality of Ghirlanda–Guerra identities and spin distributions in mixed $p$-spin models

Abstract

We prove universality of the Ghirlanda–Guerra identities and spin distributions in the mixed $p$-spin models. The assumption for the universality of the identities requires exactly that the coupling constants have zero means and finite variances, and the result applies to the Sherrington–Kirkpatrick model. As an application, we obtain weakly convergent universality of spin distributions in the generic $p$-spin models under the condition of two matching moments. In particular, certain identities for 3-overlaps and 4-overlaps under the Gaussian disorder follow. Under the stronger mode of total variation convergence, we find that universality of spin distributions in the mixed $p$-spin models holds if mild dilution of connectivity by the Viana–Bray diluted spin glass Hamiltonians is present and the first three moments of coupling constants in the mixed $p$-spin Hamiltonians match. These universality results are in stark contrast to the characterization of spin distributions in the undiluted mixed $p$-spin models, which is known up to now that four matching moments are required in general.

Nous prouvons l’universalité des identités de Ghirlanda–Guerra et des distributions de spin dans les mélanges de modèles à $p$-spin. L’hypothèse de l’universalité des identités exige précisément que les constantes de couplage aient des moyennes nulles et des variances finies; le résultat s’applique au modèle de Sherrington–Kirkpatrick. Comme application, nous obtenons une universalité faiblement convergente des distributions de spin dans les modèles à $p$-spin génériques à condition d’avoir deux moments analogues. En particulier, certaines identités pour 3 chevauchements et 4 chevauchements selon le modèle de perturbation gaussienne s’ensuivent. Sous le mode plus fort de la convergence de la variation totale, nous trouvons que l’universalité des distributions de spin dans les mélanges de modèles à $p$-spin est maintenue si une légère dilution de la connectivité par les Hamiltoniens de verre de spin du modèle dilué de Viana–Bray est présente et que les trois premiers moments des constantes de couplage dans les Hamiltoniens des mélanges de modèles à $p$-spin mixtes concordent. Ces résultats d’universalité s’opposent fortement à la caractérisation des distributions de spin dans les mélanges de modèles à $p$-spin non dilués, qui sont connus jusqu’à présent pour avoir besoin en général de quatre moments analogues.