Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques

Pruning Galton–Watson trees and tree-valued Markov processes

Romain Abraham, Jean-François Delmas, and Hui He

Full-text: Open access

Abstract

We present a new pruning procedure on discrete trees by adding marks on the nodes of trees. This procedure allows us to construct and study a tree-valued Markov process $\{\mathcal{G}(u)\}$ by pruning Galton–Watson trees and an analogous process $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$ by pruning a critical or subcritical Galton–Watson tree conditioned to be infinite. Under a mild condition on offspring distributions, we show that the process $\{\mathcal{G}(u)\}$ run until its ascension time has a representation in terms of $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$. A similar result was obtained by Aldous and Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637–686) in the special case of Poisson offspring distributions where they considered uniform pruning of Galton–Watson trees by adding marks on the edges of trees.

Résumé

Nous présentons une nouvelle procédure d’élagage d’arbres discrets en ajoutant des marques sur les noeuds de l’arbre. Cette procédure nous permet de définir un processus de Markov $\{\mathcal{G}(u)\}$ à valeurs arbres en élaguant un arbre de Galton–Watson. Nous définissons également de manière analogue un processus $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$ en élaguant un arbre de Galton–Watson critique ou sous-critique conditionné à être infini. Sous de faibles hypothèses sur la loi de reproduction, nous montrons que le processus $\{\mathcal{G}(u)\}$ arrêté en son temps d’ascension admet une représentation en terme du processus $\{\mathcal{G}^{*}(u)\}$. Un résultat similaire a été obtenu par Aldous et Pitman (Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 34 (1998) 637–686) dans le cas particulier de lois de reproductions poissoniennes en considérant un élagage uniforme sur les branches de l’arbre.

Article information

Source
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. Volume 48, Number 3 (2012), 688-705.

Dates
First available in Project Euclid: 26 June 2012

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https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1340714868

Digital Object Identifier
doi:10.1214/11-AIHP423

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2976559

Zentralblatt MATH identifier
1256.60028

Subjects
Primary: 05C05: Trees 60J80: Branching processes (Galton-Watson, birth-and-death, etc.) 60J27: Continuous-time Markov processes on discrete state spaces

Keywords
Pruning Branching process Galton–Watson process Random tree Ascension process

Citation

Abraham, Romain; Delmas, Jean-François; He, Hui. Pruning Galton–Watson trees and tree-valued Markov processes. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 (2012), no. 3, 688--705. doi:10.1214/11-AIHP423. https://projecteuclid.org/euclid.aihp/1340714868


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