Acta Mathematica

Über die invarianten linearer und linearer und quadratischer binärer Differentialformen und ihre Anwendung auf die Deformation der Flächen

Gerhard Hessenberg

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Source
Acta Math., Volume 23 (1900), 121-170.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485882073

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02418674

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1554918

Zentralblatt MATH identifier
30.0540.02

Rights
1900 © Beijers Bokförlagsaktiebolag

Citation

Hessenberg, Gerhard. Über die invarianten linearer und linearer und quadratischer binärer Differentialformen und ihre Anwendung auf die Deformation der Flächen. Acta Math. 23 (1900), 121--170. doi:10.1007/BF02418674. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485882073


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References

  • Bezeichnung von Herrn Fuchs (Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1886). Vgl. Schlesinger, Handbuch der linearen Differentialgleichungen.
  • Poincaré, a. a. O., Am. Journ., Bd. 7.
  • American Journal, Bd. 7; Acta math. Bd. 8.
  • Im 50. Bd. der Math. Annalen führe ich die auf Differentialgleichungen vom Rang 1 bezüglichen Untersuchungen in einer Richtung weiter, welche ich im 49. Bd. bereits für den einfachsten Fall, die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten, eingeschlagen habe.
  • Im 118. Bd. von Crelles Journal habe ich die Differentialgleichung zweiter Ordnung vom Rang k+1 $\frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} + x^k \left( {a_o + \frac{{a_1 }}{x} + \frac{{a_2 }}{{x^2 }} + \cdots } \right)\frac{{dy}}{{dx}} + x^{2k} \left( {b_o + \frac{{b_1 }}{x} + \frac{{b_2 }}{{x^2 }} + \cdots } \right)y = 0$ ohne Benutzung der Laplace'schen Transformirten nach einer Methode untersucht, welche sich, wie ich im 119. Bd. zeige, auf nicht lineare Differentialgleichungen übertragen lässt. Die in der vorliegenden Arbeit behandelte Differentialgleichung ist insofern specieller, als ihre Coefficienten rational sind; ich kann jedoch unter dieser Beschränkung mit Benutzung bestimmter Integrale das Verhalten der Integrale der Differentialgleichung weiter verfolgen, als es in meiner früheren Arbeit geschehen ist.
  • Man vergleiche die Untersuchung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten im 49. Bd. der Math. Ann.
  • Der erste Coefficient von P1 und die beiden ersten Coefficienten von P2 sollen nicht gleichzeitig verschwinden.
  • Der hier ausgeschlossene Ausnahmefal Q0=0 wird in § 2 behandelt.
  • Poincaré, a. a. O., Am. Journ., Bd. 7. § 5. — Schlesinger, Handbuch Bd. I, S. 355.
  • Im Text ist angenommen, dass λi keine ganze Zahl sei; andernfalls treten die Acta math. Bd. 8, S. 308–314, angegebenen Modificationen ein, ohne dass die Resultate sich ändern.
  • Der Integrationsweg l1 muss dabei dem Punkt a2 ausweichen. Poincaré, Am. Journ., Bd. 7.
  • Immer von einem constanten Factor abgesehen.
  • Poincaré, Acta math., Bd. 8.
  • Acta math. Bd. 8, S. 338–342.
  • Im 49. Bd. führe ich die Untersuchung für die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten und im 50. Bd. für eine beliebige lineare Differentialgleichung vom Rang 1 mit rationalen Coefficienten unter der Voraussetzung, dass die Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden sind. Aber auch für die Differentialgleichung (B) bleibt die ganze Entwickelung bestchen, soweit es sich um die Integrale u1 und u2 handelt, deren Integrationswege l1, l2 die einfachen Wurzeln u1 und u2 der charakteristischen Gleichung umkreisen. A. a. O. habe ich allerdings ganzzahlige Werthe von λi nicht berücksichtigt; dass aber der ausgesprochene Satz allgemein gilt, ersieht man, wenn man die von Herrn Poincaré (Acta math. Bd. 8, S. 310–314) gemachten Bemerkungen mit der Entwickelung in den Math. Ann. verbindet.
  • In demselben Sinn bestehen die asymptotischen Gleichungen $\frac{{du_2 }}{{dt}} \sim \frac{{dT_2 }}{{dt}} u.s.w.$
  • Das Gebiet $\frac{{(2\rho - I)\pi }}{{2p}} + \delta< \arg x< \frac{{(2\rho - I)\pi }}{{2p}} - \delta $ werde mit $\bar G^{(\rho )} $ bezeichnet.
  • Vgl. Crelles Journ. Bd. 118, S. 267.
  • Die bisher mit η bezeichnete Function heisst jetzt η(0). wenn $\delta _n = \gamma _n + \frac{a}{b}e^{\frac{{(a_2 - a_1 )xp}}{p} + ...} x^{\rho _2 - \rho _1 + n(C_2 + \bar \gamma )} $ gesetzt wird; est ist lim δn = 0, wenn x im Gebiet G(2ν) ins Unendliche geht.
  • Vgl. den Satz auf S. 274.
  • δ ist eine beliebig kleine positive Grösse.
  • Vgl. Fig. S. 184 für p=2.
  • Vgl. die folgenden Beispiele.
  • Dabei sind constante Factoren von y und u als unwesentlich angesehen.
  • Durch eine Substitution x=x′μ kann erreicht werden, dass keine gebrochenen Potenzen auftreten, und durch eine Substitution von der Form y=xmy′, dass die Reihen keine positiven Potenzen von x enthalten. Im Beweis wird diese Voraussetzung der Einfachheit halber gemacht.
  • Vgl. meine Arbeiten: Verwendung asymptotischer Darstellungen zur Untersuchung der Integrale einer speciellen linearen Differentialgleichung (Math. Ann. Bd. 49) und Über das Verhalten der Integrale einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung einer Unbestimmtheitsstelle (Crelles Journ. Bd. 120). Ich kann mich im gegenwärtigen Paragraphen kurz fassen, wo es sich um die Übertragung der in den genannten Arbeiten für die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten und die lineare, nicht homogene Differentialgleichung erster Ordnung entwickelten Methoden auf eine beliebige lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit rationalen Coefficienten handelt. Nach dem Muster der Arbeit im 49. Bd. der Math. Ann. liessen sich die jetzigen Entwickelungen weiter ausführen.
  • Dabei ist λ eine ganze positive Zahl; die Wurzel ist so fixirt, dass für $\lambda = + \infty arg s_\lambda = \frac{\pi }{{2p}}$ wird.
  • Liouv. Journ. 1893.
  • λ ist eine beliebig kleine positive Grösse.