Stein’s method for functions of multivariate normal random variables

Abstract

By the continuous mapping theorem, if a sequence of $d$-dimensional random vectors $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq 1}$ converges in distribution to a multivariate normal random variable $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, then the sequence of random variables $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq 1}$ converges in distribution to $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ if $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}$ is continuous. In this paper, we develop Stein’s method for the problem of deriving explicit bounds on the distance between $g(\mathbf{W}_{n})$ and $g(\Sigma^{1/2} \mathbf{Z})$ with respect to smooth probability metrics. We obtain several bounds for the case that the $j$-component of $\mathbf{W}_{n}$ is given by $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, where the $X_{ij}$ are independent. In particular, provided $g$ satisfies certain differentiability and growth rate conditions, we obtain an order $n^{-(p-1)/2}$ bound, for smooth test functions, if the first $p$ moments of the $X_{ij}$ agree with those of the normal distribution. If $p$ is an even integer and $g$ is an even function, this convergence rate can be improved further to order $n^{-p/2}$. These convergence rates are shown to be of optimal order. We apply our general bounds to some examples, which include the distributional approximation of asymptotically chi-square distributed statistics; the approximation of expectations of smooth functions of binomial and Poisson random variables; rates of convergence in the delta method; and a quantitative variance-gamma approximation of the $D_{2}^{*}$ statistic for alignment-free sequence comparison in the case of binary sequences.

Par le théorème de l’application continue, si une suite $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq1}$ de vecteurs aléatoires de dimension $d$ converge en loi vers une loi normale multivariée $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, alors la suite des variables aléatoires $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq1}$ converge en loi vers $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ si $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue. Dans cet article, nous développons la méthode de Stein pour obtenir des bornes explicites sur la distance entre $g(\mathbf{W}_{n})$ et $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$, pour des métriques lisses sur l’espaces des probabilités. Nous obtenons plusieurs bornes dans le cas où la $j$-ème coordonnée de $\mathbf{W}_{n}$ est donnée par $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, où les $X_{ij}$ sont indépendants. En particulier, si $g$ vérifie certains conditions de dérivabilité et de croissance, nous obtenons une borne d’ordre $n^{-(p-1)/2}$, pour des fonctions-test lisses, si les $p$ premiers moments des $X_{ij}$ coïncident avec ceux de la loi normale. Si $p$ est un entier pair et $g$ est une fonction paire, ce taux de convergence peut être encore amélioré en $n^{-p/2}$. Nous montrons que ces taux de convergence sont d’ordre optimal. Nous appliquons nos bornes générales à quelques exemples, incluant l’approximation en loi de statistiques suivant asymptotiquement une loi du chi-deux; l’approximation d’espérances de fonctions lisses de variables aléatoires de loi binomiales ou de Poisson; des taux de convergence pour la méthode $\delta$; et une approximation variance-gamma quantitative de la statistique $D_{2}^{*}$ pour la comparaison sans alignement, dans le cas de suites binaires.