Abstract
Given a sample of a random variable supported by a smooth compact manifold $M\subset \mathbb{R}^{d}$, we propose a test to decide whether the boundary of $M$ is empty or not with no preliminary support estimation. The test statistic is based on the maximal distance between a sample point and the average of its $k_{n}$-nearest neighbors. We prove that the level of the test can be estimated, that, with probability one, its power is one for $n$ large enough, and that there exists a consistent decision rule. Heuristics for choosing a convenient value for the $k_{n}$ parameter and identifying observations close to the boundary are also given. We provide a simulation study of the test.
Soit un $n$-échantillon issus d’une loi supportée par $M$, une variété compacte suffisament régulière. On propose un test de l’hypothèse nulle $\partial M=\varnothing $ contre l’hypothèse alternative $\partialM\neq \varnothing $ qui ne nécessite pas d’estimation de $M$ préliminaire. La statistique de test est la distance maximale (adéquatement renormalisée) entre une observation et la moyenne de ses $k_{n}$-plus proches voisins. On montre que le niveau du test peut être estimé, que sa puissance est $1$ lorsque $n$ est suffisament grand et, enfin, qu’il existe une règle de décision consistente. De manière pratique, on propose aussi une heuristique pour le choix de $k_{n}$ et pour l’indentification des observations proches du bord. Ces résultats sont illustrés par des simulations.
Citation
Catherine Aaron. Alejandro Cholaquidis. "On boundary detection." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (3) 2028 - 2050, August 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1027
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