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August 2020 On boundary detection
Catherine Aaron, Alejandro Cholaquidis
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56(3): 2028-2050 (August 2020). DOI: 10.1214/19-AIHP1027

Abstract

Given a sample of a random variable supported by a smooth compact manifold $M\subset \mathbb{R}^{d}$, we propose a test to decide whether the boundary of $M$ is empty or not with no preliminary support estimation. The test statistic is based on the maximal distance between a sample point and the average of its $k_{n}$-nearest neighbors. We prove that the level of the test can be estimated, that, with probability one, its power is one for $n$ large enough, and that there exists a consistent decision rule. Heuristics for choosing a convenient value for the $k_{n}$ parameter and identifying observations close to the boundary are also given. We provide a simulation study of the test.

Soit un $n$-échantillon issus d’une loi supportée par $M$, une variété compacte suffisament régulière. On propose un test de l’hypothèse nulle $\partial M=\varnothing $ contre l’hypothèse alternative $\partialM\neq \varnothing $ qui ne nécessite pas d’estimation de $M$ préliminaire. La statistique de test est la distance maximale (adéquatement renormalisée) entre une observation et la moyenne de ses $k_{n}$-plus proches voisins. On montre que le niveau du test peut être estimé, que sa puissance est $1$ lorsque $n$ est suffisament grand et, enfin, qu’il existe une règle de décision consistente. De manière pratique, on propose aussi une heuristique pour le choix de $k_{n}$ et pour l’indentification des observations proches du bord. Ces résultats sont illustrés par des simulations.

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Catherine Aaron. Alejandro Cholaquidis. "On boundary detection." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (3) 2028 - 2050, August 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1027

Information

Received: 5 July 2017; Revised: 24 July 2019; Accepted: 30 September 2019; Published: August 2020
First available in Project Euclid: 26 June 2020

MathSciNet: MR4116716
Digital Object Identifier: 10.1214/19-AIHP1027

Subjects:
Primary: 62G10, 62H15

Rights: Copyright © 2020 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
23 PAGES

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Vol.56 • No. 3 • August 2020
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