Le calcul fonctionnel sous-linéaire dans les espaces de Besov homogènes

Abstract

On établit l'estimation sous-linéaire $\|f \circ g\| \leq c(f) \|g\|$, la norme étant celle de l'espace de Besov homogène $\dot B^{s,q}_{p}(\mathbb{R}^n)$, où $1\leq p<+\infty$, $1\leq q\leq +\infty$ et $0<s<1+(1/p)$. La fonction $f$ est supposée appartenir à une classe $U^1_p$ introduite antérieurement par Bourdaud et Kateb, qui contient notamment les primitives des fonctions à variation bornée sur ${\mathbb R}$. À titre d'application, on montre qu'une fonction étagée appartient à $\dot{B}^{1,\infty}_1({\mathbb R^2})$ si et seulement si elle appartient à $ BV({\mathbb R^2})$.