Sur un système fibré lié à la suite des nombres premiers

Abstract

Nous étudions le système dynamique défini par la transformation {\small $\Phi:]0,1]\fle ]0,1]$} où {\small $\Phi(x)=px-1$} si {\small $x\in ]1/p,1/q],$ $q$} et {\small $p$} étant deux nombres premiers consécutifs. La question de l'existence d'une mesure absolument continue invariante par {\small $\Phi$} est reliée par un argument de chaîne de Markov à une conjecture concernant un ensemble de suites de nombres premiers. Cette hypothèse est corroborée par des simulations de type Monte-Carlo. Nous montrons que cela entraîne la stabilité statistique de {\small $\Phi$} sur l'intervalle {\small $]0,2/3].$} En utilisant des arguments heuristiques nous définissons des versions simplifiées de l'opérateur de Perron-Frobenius associé à {\small $\Phi.$} Cela nous permet de construire à l'aide de Maple une densité de probabilité présentant une bonne adéquation expérimentale avec les histogrammes des orbites issues de constantes fondamentales.

We study the dynamical system defined by the transformation {\small $\Phi:]0,1]\fle ]0,1]$} where {\small $\Phi(x)=px-1$} if {\small $x\in ]1/p,1/q],$ $q$} and {\small $p$} being two consecutive prime numbers. The problem of the existence of an invariant absolutely continuous measure by {\small $\Phi$} is related via a Markov chain argument to a conjecture concerning a set of prime number sequences. This hypothesis is corroborated by Monte Carlo simulations. We prove that this implies the statistical stability of the transformation {\small $\Phi$} on the interval {\small $]0,2/3].$} By using heuristical arguments, we define simplified versions of the Perron-Frobenius operator associated to {\small $\Phi.$} Using Maple, we construct a probability density presenting a good experimental fit with the histograms of orbits stemming from fundamental constants.