Espaces de Banach–Colmez et faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues–Fontaine

Abstract

Nous donnons une nouvelle définition, plus simple mais équivalente, de la catégorie abélienne des espaces de Banach–Colmez introduite par Colmez, et nous expliquons la relation précise de cette catégorie avec celle des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues–Fontaine. On passe d’une catégorie à l’autre en modifiant la $t$-structure sur la catégorie dérivée. Chemin faisant, nous obtenons une description de la cohomologie pro-étale du disque ouvert et de l’espace affine d’intérêt indépendant.

We give a new definition, simpler but equivalent, of the abelian category of Banach–Colmez spaces introduced by Colmez, and we explain the precise relationship with the category of coherent sheaves on the Fargues–Fontaine curve. One goes from one category to the other by changing the $t$-structure on the derived category. Along the way we obtain a description of the proétale cohomology of the open disk and the affine space, which is of independent interest.