Pour toute surface hyperbolique de genre g, λ2g−2>1/4

Abstract

Nous étudions l'influence de la topologie d'une surface hyperbolique sur le nombre des valeurs propres de son Laplacien qui sont inférieures ou égales à $1/4$. Le premier résultat de l'article est un énoncé du type “trou spectral”, son titre, dans lequel ${\lambda }_j$ est la $j$-ième des valeurs propres ${\lambda }_0=0<{\lambda }_1\le \cdot \cdot \cdot \le {\lambda }_j\le \cdot \cdot \cdot$ du Laplacien et $g$ est le genre de la surface. Une construction classique dûe à Buser montre que ce résultat est optimal. Nous donnons aussi un énoncé du même type pour les surfaces de volume fini. Les méthodes prolongent celles de [O], qui utilisaient de manière essentielle l'approche topologique par Sévennec de la question de la majoration de la multiplicité de la deuxième valeur propre des opérateurs de Schrödinger [Se].

We study the influence of the topology of a hyperbolic surface on the number of its Laplace eigenvalues that are at most $1/4$. The first result of the article is a “spectral gap” statement, namely, its title where ${\lambda }_j$ is the $j$th of the eigenvalues ${\lambda }_0=0<{\lambda }_1\le \cdot \cdot \cdot \le {\lambda }_j\le \cdot \cdot \cdot$ of the Laplace operator and where $g$ is the genus of the surface. A classical construction due to Buser shows that this result is sharp. We give a similar statement for finite volume surfaces. The methods develop those found in [O], which used in an essential way the topological approach of Sévennec to the question of bounding the multiplicity of the second eigenvalue for Schrödinger operators [Se]